[tranghieu95]

$\boxed{5}$ $p$ là số nguyên tố thỏa mãn $p=k.2^t+1, k \in \mathbb{N^*}, k$ là số tự nhiên. Khi đó nếu tồn tại số tự nhiên x, y thỏa mãn: $x^{2^t}+y^{2^t} \vdots p$ thì $x \, \vdots \,p; \,y \,\vdots \,p$.

Chứng minh:

Giả sử x ko chia hết cho p thì y ko chia hết cho p.
Theo định lí Fermat thì:
$$\left\{\begin{matrix}
x^{p-1} \equiv 1 (mod p)\\
y^{p-1} \equiv 1 (nod p)
\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}
x^{k.2^t} \equiv 1 (mod p)\\
y^{k.2^t} \equiv 1 (nod p)
\end{matrix}\right.$$
$\Rightarrow x^{k.2^t+1}+y^{k.2^t+1} \equiv 2 (mod p)$
Mà $x^{2^t}+y^{2^t} \equiv 0 (mod p) \Rightarrow x^{k.2^t+1}+y^{k.2^t+1} \equiv 0 (mod p) (MT)$

Bài tập áp dụng:

5.1.( Bổ đề 3) Cho $p$ là số nguyên tố dạng $4k+3$. Khi đó nếu $a^2+b^2$ chia hết cho $p$ thì $a$ và $b$ đều chia hết cho $p$.

5.2 CMR pt: $x^2+5=y^3$ ko có nghiệm nguyên

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]