[Thụy An]

ĐỀ VMO 2019

Ngày thi thứ nhất

Bài 1. Cho hàm số $f:\;\mathbb R\to\mathbb R^+$ liên tục và thỏa mãn\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 0.\]

1. Chứng minh rằng tồn tại giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên $\mathbb R$.
2. Chứng minh rằng tồn tại hai dãy số $\left(x_n\right)$ và $\left(x_n\right)$ sao cho $\lim x_n=\lim y_n$ và\[{x_n} < {y_n},\;\;\;{\kern 1pt} f\left( {{x_n}} \right) = f\left( {{y_n}} \right),\quad \;\;\;\forall {\mkern 1mu} n.\]

Bài 2. Dãy số nguyên $\left( {{x_n}} \right)$, thỏa $0\le x_0<x_1\le 100$ và\[{x_{n + 2}} = 7{x_{n+1}} - {x_n} + 280,\;\;\;{\kern 1pt} \forall {\mkern 1mu} n \in \mathbb N.\]

1. Với $x_0=2,\,x_1=3$, chứng minh rằng tổng các ước số dương của $M_n$ là bội số của $24$, với$$M_n=x_{n}x_{n+1}+x_{n+1}x_{n+2}+x_{n+2}x_{n +3}+2018.$$
2. Tìm các cặp $\left(x_0,\,x_1\right)$ sao cho $x_nx_{n+1}+2019$ là số chính phương với vô số số tự nhiên $n$.

Bài 3. Với mỗi đa thức $f(x)$, ký hiệu $T(f)$ là tổng bình phương các hệ số của $f(x)$. Cho $P\left( x \right) = \prod\limits_{1 \le k \le 2020} {\left( {x + k} \right)}$, chứng minh rằng tồn tại $2^{2019}$ đa thức $Q_k(x)$ ($1\le k\le 2^{2019}$) có các hệ số là các số thực dương và có bậc là $2020$ sao cho\[T\left( {{Q_k}{{\left( x \right)}^n}} \right) = T\left( {P{{\left( x \right)}^n}} \right),\;\;\;{\kern 1pt} \forall {\mkern 1mu} n \in \mathbb N^*.\]

Câu 4. Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$ và tâm đường tròn nội tiếp $I$, trên các tia $AB$, $AC$, $BC,\, BA,\, CA,\, CB$ lần lượt lấy các điểm $A_1,\,A_2,\,B_1,\,B_2,\,C_1,\,C_2$, sao cho $$AA_1=AA_2=BC,\, BB_1=BB_2=AC,\, CC_1=CC_2=AB.$$ Các cặp đường thẳng $\left(B_1B_2,\, C_1C_2 \right),\, \left( C_1C_2,\, A_1A_2 \right),\, \left( B_1B_2,\, A_1A_2 \right)$. Lần lượt có giao điểm là $A',\,B',\,C'$.

1. Chứng minh rằng diện tích tam giác $A'B'C'$ không vượt quá diện tích tam giác $ABC$.
2. Gọi $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A'B'C'$. Các đường thẳng $AJ,\,BJ,\,CJ$ lần lượt cắt các đường thẳng $BC,\, CA,\,AB$ tại $R,\,S,\,T$ tương ứng. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AST,\, BTR,\, CRS$ cùng đi qua một điểm $K$. Chứng minh rằng nếu tam giác $ABC$ không cân thì $IHJK$ là hình bình hành.

Ngày thi thứ 2

Bài 5. Cho đa thức $f(x)=x^2-\alpha x+1$.

1. Với $\alpha=\dfrac{\sqrt{15}}{2}$, hãy viết $f(x)$ thành thương của hai đa thức với các hệ số không âm.
2. Tìm tất cả các giá trị của $\alpha$ để viết được $f(x)$ thành thương của hai đa thức với các hệ số không âm.

Bài 6. Cho tam giác $ABC$ nhọn và không cân, nội tiếp đường tròn $(O)$ và có trực tâm $(H)$. Gọi $M,\,N,\,P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC,\,CA,\,AB$ và $D,\,E,\,F$ lần lượt là chân các đường cao tương ứng với các đỉnh $A,\,B,\,C$ của tam giác $ABC$. Gọi $K$ là điểm đối xứng của $H$ qua $BC$. Hai đường thẳng $DE$ và $MP$ cắt nhau tại $X$; hai đường thẳng $DF$ và $MN$ cắt nhau tại $Y$.

1. Đường thẳng $XY$ cắt cung nhỏ $\displaystyle\mathop{BC}^{\frown}$ của $(O)$ tại $Z$. Chứng minh rằng bốn điểm $K,\,Z,\,E,\,F$ đồng viên.
2. Hai đường thẳng $KE,\,KF$ lần lượt cắt $(O)$ tại các điểm thứ hai là $S$ và $T$ (khác $K$). Chứng minh rằng các đường thẳng $BS,\,CT$ và $XY$ đồng quy.

Bài 7. Có một số mảnh giấy hình vuông có cùng kích thước, mỗi mảnh được chia caro thành $5x5$ ô vuông ở cả hai mặt. Ta dùng $n$ màu đẻ tô cho các mảnh giấy sao cho mỗi ô của mỗi mảnh giấy được tô cả hai mặt bởi cùng một màu. Hai mảnh giấy được coi là giống nhau nếu có thể xếp chúng khít lên nhau sao cho các cặp ô vuông ở cùng vị trí có cùng màu. Chứng minhh rằng không có quá $\dfrac{1}{8}\left( {{n^{25}} + 4{n^{15}} + {n^{13}} + 2{n^7}} \right)$ mảnh giấy đôi một không giống nhau.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]