Trích:
| $\fbox{Bài T7/420.}$ Cho các số $a, b, c$ là các số thực không âm có tổng bằng $1$. Chứng minh rằng $(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) \ge \left(\dfrac{10}{9}\right)^3$ |
Lấy $\ln$ hai vế, ta được bất đẳng thức tương đương:
$$\sum \ln(a^2+1) \ge 3 \ln \dfrac{10}{9}$$
Xét hàm số $f(x)= \ln (x^2+1)$ trên $D=[0;1]$.
$f'(x)=\dfrac{2x}{1+x^2}$, $f''(x)=\dfrac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2} \ge 0 \forall x \in [0;1]$.
Do đó hàm số $f(x)= \ln (x^2+1)$ lõm trên $[0;1]$.
$\Rightarrow \ln (a^2+1) \ge f' \left( \dfrac{1}{3}\right)\left(a-\dfrac{1}{3}\right) +f(1) \Rightarrow \ln(a^2+1) \ge \dfrac{7}{25}\left(a-\dfrac{1}{3}\right) +\ln \left(\dfrac{10}{9}\right)$
Thiết lập hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại, ta có điều phải chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]