Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn

Conanvn · 19-03-2015, 07:57 PM

$tui gởi đỡ ở đây nhe, ông kiểm tra giúp

$
$\mathbf{Khái niệm:}$ Cho không gian metric $(X,d)$, $X$ được gọi là được phủ hoàn toàn nếu với mọi $\epsilon >0$ tồn tại một họ hữu hạn $\{ x_1, x_2,...,x_n \} $ các phần tử của $X$ sao cho:$$X \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} B(x_i,\epsilon)$$

$\mathbf{Bài toán:}$ Cho không gian metric $(X,d)$, chứng minh hai điều sau đây tương đương:
i) $X$ compact
ii) $X$ là không gian Banach và $X$ được phủ hoàn toàn.

$\mathbf{Chứng minh:}$
$i) \Rightarrow ii)$:

$\triangleright$ Chứng minh $X$ là không gian Banach

Lấy $\{ x_n \}$ là một dãy Cauchy trong $X$. Vì $X$ compact nên tồn tại một dãy con $\{ x_{n_k} \}$ hội tụ về $x$.
Cho $\epsilon >0$, ta chứng minh có $N$ sao cho $ \forall n>N : d(x_n,x) <\epsilon$
Vì $\{x_{n_k}\}$ hội tụ về $x$ nên tồn tại $K$ sao cho : $\forall m>K: d(x_{n_m}, x) <\dfrac{\epsilon}{2}$
Do $\{x_n\}$ là dãy Cauchy nên tồn tại $H$ sao cho : $\forall p >q>H: d(x_p,x_q)<\dfrac{\epsilon}{2}$
Ta chọn $N=H$, lấy $k_0 >max\{H,K\}$
Khi đó: $\forall n>N: d(x_n,x) \le d(x_n,x_{n_{k_0}})+d(x_{n_{k_0}},x) < \dfrac{\epsilon}{2}+\dfrac{\epsilon}{2}= \epsilon$
Do đó $\{x_n\}$ hội tụ, nên $X$ là không gian Banach.

$\triangleright$ Chứng minh $X$ được phủ hoàn toàn:

Cho $\nu >0$, ta chứng minh tồn tại một họ hữu hạn $\{ y_1,y_2,...,y_n\}$ mà $$X \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} B(y_i,\nu)$$
Lấy $y_1 \in X$, nếu $X \subseteq B(y_1,\nu)$ thì kết thúc chứng minh.
Nếu $X \nsubseteq B(y_1,\nu)$ thì tồn tại $y_2 \notin B(y_1,\nu)$. Xét tiếp tục, nếu $ X \subseteq B(y_1,\nu) \cup B(y_2,\nu)$ thì kết thúc, ngược lại thì tồn tại $y_3 \notin B(y_1,\nu) \cup B(y_2,\nu)$
Cứ tiếp tục như vậy ta xây dựng được $y_1,y_2,....y_n,...$
Nếu dãy này hữu hạn thì $X$ được phủ hoàn toàn.
Nếu dãy là vô hạn, thì ta được một dãy trong $X$. Theo cách xây dựng thì hai phần tử bất kì trong dãy đều cách nhau một khoảng cách $> \nu$ nên dễ dàng chứng minh mọi dãy con đều không hội tụ, mâu thuẫn với tính compact của $X$.

$ii) \Rightarrow i)$

Lấy dãy $\{x_n\}$ trong $X$
Vì $X$ được phủ hoàn toàn nên có thể phủ $X$ bằng hữu hạn các quả cầu mở bán kính $1$. Suy ra có một quả cầu $\mathfrak{B_1} $bán kính $1$ chứa vô hạn phần tử của $\{x_n\}$
Đặt $A_1=\{k \in \mathbb{N} | x_k \in \mathfrak{B_1} \}$
Đặt $n_1 = minA_1$
Tiếp tục, $X$ được phủ bằng hữu hạn các quả cầu mở bán kính $\dfrac{1}{2}$ nên có một quả cầu mở $\mathfrak{B_2}$ chứa vô số phần tử của tập $\{x_k | k \in A_1 \setminus \{n_1\}\}$
Đặt $A_2=\{t \in A_1 \setminus \{n_1\} | x_t\in \mathfrak{B_2} \}$
Và đặt $n_2 = minA_2$
Tiếp tục như thế, ta được dãy $n_1<n_2<....<n_k<...$ và dễ dàng chứng minh $\{x_{n_k}\}$ là dãy Cauchy ( vì khoảng cách giữa các phần tử tiến về $0$ ), nên $\{x_{n_k}\}$ hội tụ.
Do có thể tìm được một dãy con hội tụ của $\{x_n\}$ nên $X$ compact.

19-03-2015, 07:57 PM	#98
Conanvn +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2012 Đến từ: THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu, AG Bài gởi: 188 Thanks: 190 Thanked 80 Times in 55 Posts	$tui gởi đỡ ở đây nhe, ông kiểm tra giúp $ $\mathbf{Khái niệm:}$ Cho không gian metric $(X,d)$, $X$ được gọi là được phủ hoàn toàn nếu với mọi $\epsilon >0$ tồn tại một họ hữu hạn $\{ x_1, x_2,...,x_n \} $ các phần tử của $X$ sao cho:$$X \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} B(x_i,\epsilon)$$ $\mathbf{Bài toán:}$ Cho không gian metric $(X,d)$, chứng minh hai điều sau đây tương đương: i) $X$ compact ii) $X$ là không gian Banach và $X$ được phủ hoàn toàn. $\mathbf{Chứng minh:}$ $i) \Rightarrow ii)$: $\triangleright$ Chứng minh $X$ là không gian Banach Lấy $\{ x_n \}$ là một dãy Cauchy trong $X$. Vì $X$ compact nên tồn tại một dãy con $\{ x_{n_k} \}$ hội tụ về $x$. Cho $\epsilon >0$, ta chứng minh có $N$ sao cho $ \forall n>N : d(x_n,x) <\epsilon$ Vì $\{x_{n_k}\}$ hội tụ về $x$ nên tồn tại $K$ sao cho : $\forall m>K: d(x_{n_m}, x) <\dfrac{\epsilon}{2}$ Do $\{x_n\}$ là dãy Cauchy nên tồn tại $H$ sao cho : $\forall p >q>H: d(x_p,x_q)<\dfrac{\epsilon}{2}$ Ta chọn $N=H$, lấy $k_0 >max\{H,K\}$ Khi đó: $\forall n>N: d(x_n,x) \le d(x_n,x_{n_{k_0}})+d(x_{n_{k_0}},x) < \dfrac{\epsilon}{2}+\dfrac{\epsilon}{2}= \epsilon$ Do đó $\{x_n\}$ hội tụ, nên $X$ là không gian Banach. $\triangleright$ Chứng minh $X$ được phủ hoàn toàn: Cho $\nu >0$, ta chứng minh tồn tại một họ hữu hạn $\{ y_1,y_2,...,y_n\}$ mà $$X \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} B(y_i,\nu)$$ Lấy $y_1 \in X$, nếu $X \subseteq B(y_1,\nu)$ thì kết thúc chứng minh. Nếu $X \nsubseteq B(y_1,\nu)$ thì tồn tại $y_2 \notin B(y_1,\nu)$. Xét tiếp tục, nếu $ X \subseteq B(y_1,\nu) \cup B(y_2,\nu)$ thì kết thúc, ngược lại thì tồn tại $y_3 \notin B(y_1,\nu) \cup B(y_2,\nu)$ Cứ tiếp tục như vậy ta xây dựng được $y_1,y_2,....y_n,...$ Nếu dãy này hữu hạn thì $X$ được phủ hoàn toàn. Nếu dãy là vô hạn, thì ta được một dãy trong $X$. Theo cách xây dựng thì hai phần tử bất kì trong dãy đều cách nhau một khoảng cách $> \nu$ nên dễ dàng chứng minh mọi dãy con đều không hội tụ, mâu thuẫn với tính compact của $X$. $ii) \Rightarrow i)$ Lấy dãy $\{x_n\}$ trong $X$ Vì $X$ được phủ hoàn toàn nên có thể phủ $X$ bằng hữu hạn các quả cầu mở bán kính $1$. Suy ra có một quả cầu $\mathfrak{B_1} $bán kính $1$ chứa vô hạn phần tử của $\{x_n\}$ Đặt $A_1=\{k \in \mathbb{N} \| x_k \in \mathfrak{B_1} \}$ Đặt $n_1 = minA_1$ Tiếp tục, $X$ được phủ bằng hữu hạn các quả cầu mở bán kính $\dfrac{1}{2}$ nên có một quả cầu mở $\mathfrak{B_2}$ chứa vô số phần tử của tập $\{x_k \| k \in A_1 \setminus \{n_1\}\}$ Đặt $A_2=\{t \in A_1 \setminus \{n_1\} \| x_t\in \mathfrak{B_2} \}$ Và đặt $n_2 = minA_2$ Tiếp tục như thế, ta được dãy $n_1<n_2<....<n_k<...$ và dễ dàng chứng minh $\{x_{n_k}\}$ là dãy Cauchy ( vì khoảng cách giữa các phần tử tiến về $0$ ), nên $\{x_{n_k}\}$ hội tụ. Do có thể tìm được một dãy con hội tụ của $\{x_n\}$ nên $X$ compact. __________________ Chuyến tàu đã dừng lại.