Trích:
Nguyên văn bởi Thụy An  Cho số nguyên dương $n$ lớn hơn $1$, thỏa mãn$$n\mid\left(a^n-a\right)\quad\forall\,a\in\mathbb Z.$$Chứng minh rằng nếu $p$ là ước nguyên tố của $n$, thì $p^2\nmid n$ và $(p-1)\mid (n-1)$(1). |
Con xin trình bày :
1.
Ta có để ${a^n} \equiv a{\rm{ ( mod n ) }}$ với mọi a là số nguyên
thì n phải thỏa
(1) Nên wlog ta chọn a / $or{d_n}(a) = p - 1$ Từ đây ta có gcd(a,n)=1
Ta đã có ${a^n} \equiv a{\rm{ ( mod n ) }}$
hay ${a^{n - 1}} \equiv 1{\rm{ ( mod n}}{\rm{)}}$ ( Do ( a,n)=1)
hay ${a^{n - 1}} \equiv 1{\rm{ ( mod p)}}$ ( Do p | n )
Mặt khác , theo Flt :$ {a^{p - 1}} \equiv 1{\rm{ ( mod p}}{\rm{)}}$
Từ đó (p-1) | (n-1)
2.
Giả sử $n = {p_1}.{p_2}...{p_n}$ với ${p_i}$ là các số nguyên tố
Ta có ${a^{{p_1}}} \equiv a \equiv {a^{{p_1}.{p_2}...{p_n}}}{\rm{ ( mod }}{{\rm{p}}_1})$ ( Flt )
Hay ${a^{{p_1} - 1}} \equiv 1 \equiv {a^{{p_1}({p_2}...{p_n} - 1)}}{\rm{ ( mod }}{{\rm{p}}_1})$
Nên ${p_2}...{p_n} - 1 \equiv {p_1}({p_2}...{p_n} - 1) \equiv 0{\rm{ ( mod }}{{\rm{p}}_1} - 1)$
Mà ${p_i} - 1|n - 1$
Nên ${p_1} - 1|n - {p_2}...{p_n} - 1$ Điều này là hiển nhiên .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]