I.40 Định Lí Blaikie Định lí: Cho tam giác ABC và đường thẳng d sao cho d cắt BC,CA,AB lần lượt ở M,N,P. Gọi S là 1 điểm bất kì trên d. Gọi M',N',P' lần lượt là điểm đối xứng của M,N,P qua S. Khi đó AM',BN',CP' đồng quy tại một điểm P và ta gọi P là điểm Blaikie của d và S đối với tam giác ABC.
Chứng Minh : Có thể cho $S $ nằm giữa $N,M $.
Giả sử $AM' $ cắt $BN' $ tại $I $ . Ta chứng mình $I,C,P $
thẳng hàng .
Xét tam giác $BN'M $ với $3 $ điểm $I,C,P $ . Ta cần cm :
$\frac{IB}{IN'}.\frac{P'N'}{P'M}.\frac{CM}{CB}=1 $
Xét tam giác $PBN' $ với $3 $ điểm thẳng hàng $A,I,M' $ trên $3 $ cạnh :
$\frac{AP}{AB}.\frac{IB}{IN'}.\frac{M'N'}{M'P}=1 $
(1) Xét tam giác $MBP $ với $3 $ điểm thẳng hàng $C,A,N $ trên $3 $ cạnh :
$\frac{CM}{CB}.\frac{AB}{AP}.\frac{PN}{MN}=1 $
(2) Nhân $2 $ vế
(1),(2) và rút gọn , chú ý $MN=M'N' $ta được :
$\frac{IB}{IN'}.\frac{NP}{M'P}.\frac{CM}{CB}=1 $
Chú ý là $NP=P'N' $ và $P'M=M'P $ nên ta có đpcm.
