Lâu lắm mới thấy một bài đa thức khả quy. Giả sử có thể phân tích được thành tích của $n+1$ đa thức $P_{i}(x)$ khác hằng hệ số nguyên. Nhận xét 1: P(x) vô nghiệm do đó các đa thức $P_{i}(x)$ đều có bậc chẵn. Và vì P(x) có bậc 4n nên suy ra có ít nhất 2 chỉ số $i$ sao cho $P_{i}(x)$ có bậc 2, giả sử là $k$ và $l$. Nhận xét 2: Với mọi $i$ thì $P_{i}(6)-P_{i}(1)$ chia hết cho 5 Cho $x=1$ và $x=6$ thì ta thu được $$P_{1}(1).P_{2}(1)...P_{n+1}(1) = P_{1}(6).P_{2}(6)...P_{n+1}(6) = 13$$ Suy ra $P_{i}(1)$ và $P_{i}(6)$ chỉ nhận giá trị trong ${-1,1,13,-13}$. Mà $P_{i}(6)-P_{i}(1)$ chia hết cho 5 nên với mọi i thì $P_{i}(1) = P_{i}(6)$ Xét $i = k$ và $i = l$, rõ ràng không thể có trường hợp $|P_{k}(1)| = |P_{k}(6)|=|P_{l}(1)| = |P_{l}(6)| = 13$ nên hoặc $|P_{k}(1)| = |P_{k}(6)| =1$ hoặc $|P_{l}(1)| = |P_{l}(6)| =1$. Giả sử là $P_{k}$. Khi đó có hai trường hợp xảy ra là $P_{k}(x) = (x-1)(x-6)+1$ hoặc $P_{k}(x) = (x-1)(x-6)-1$. Cả hai trường hợp này $P_{k}(x)$ đều có nghiệm, suy ra P(x) có nghiệm ==> vô lý. Như vậy điều giả sử là sai. Và bài toán đã được chứng minh [RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] thay đổi nội dung bởi: DogLover, 03-01-2014 lúc 12:11 PM |