Trích:
Nguyên văn bởi huynhcongbang Bài 4. a. Cho tam giác $ABC$ có đường cao $AD$ và $P$ là một điểm di động trên $AD$. Các đường thẳng $PB$ và $AC$ cắt nhau ở $E$, các đường thẳng $PC$ và $AB$ cắt nhau ở $F.$ Giả sử tứ giác $AEDF$ nội tiếp. Chứng minh rằng $$\frac{PA}{PD}=(\tan B+\tan C)\cot \frac{A}{2}.$$ |
Theo Menalaus ta có
$\dfrac{AP}{AD} \dfrac{CD}{CB} \dfrac{EB}{EP}=1. $
Ta lại có
$\dfrac{AE}{AB} \dfrac{DB}{DB} \dfrac{PB}{PE}=1. $
Do vậy
$\dfrac{AP}{PD}=\dfrac{BC.CA}{DB.AE+DC.AC-BC.CA}=\dfrac{ab}{c \cos B l_a \cos \dfrac{A}{2}+b^2 \cos C-ab}. $
Biến đổi đại số ta thu được đpcm.
Chú ý rằng
$l_a=\dfrac{2bc \cos \dfrac{A}{2}}{b+c}; S=\dfrac{1}{2}bc \sin A. $
Trích:
Nguyên văn bởi huynhcongbang Bài 4. b. Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$ và $P$ là một điểm di động trên $AH$. Đường thẳng vuông góc với $AC$ tại $C$ cắt $BP$ tại $M$, đường thẳng vuông góc với $AB$ tại $B$ cắt $CP$ tại $N.$ Gọi $K$ là hình chiếu của $A$ trên $MN$. Chứng minh $\angle BKC+\angle MAN$ không đổi. |
Sử dụng tứ giác nội tiếp ra kết quả
$\widehat{BKC}+\widehat{MAN}=360^0-\widehat{BAC}. $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]