Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn - Một số kiến thức về hình trong các cuộc thi Olympic Toán !

nbkschool · 25-08-2008, 06:16 PM

Xin lỗi về sự chậm trễ của em,kể từ hôm nay là mỗi ngày đều phải học trọn sáng chiều ở trường rùi,hixhix

I.32)Công thức Lagrange mở rộng.

Định lý:
Gọi I là tâm tỉ cự của hệ điểm $\{A_1,...,A_n \} $ ứng với các hệ số $a_1,...a_n $ thì với mọi điểm M:
$\sum^n_{i=1}a_iMA_i^2=\frac{\sum_{1\leq i <j \leq n} a_ia_jA_iA_j^2}{\sum^n_{i=1} a_i}+(\sum^n_{i=1} a_i)MI^2 $

Chứng minh:

Từ hệ thức Jacobi (có thể xem ở mục I.24) thì ta chỉ cần chứng minh rằng:
$\frac{\sum_{1\leq i <j \leq n} a_ia_jA_iA_j^2}{\sum^n_{i=1} a_i}=\sum^n_{i=1}a_iIA_i^2 $
Do I là tâm tỉ cự của hệ điểm nên:
$(\sum^n_{i=1}a_i\vec{IA_i})^2=0 $
<->$\sum^n_{i=1} a_i^2IA_i^2 + 2.(\sum_{1\leq i <j \leq n}a_ia_j\vec{IA_i}.\vec{IA_j}) =0 $
<->$\sum^n_{i=1} a_i^2IA_i^2 +[\sum_{1\leq i <j \leq n}a_ia_j(IA_i^2+IA_j^2-A_iA_j^2)]=0 $
<->$(\sum^n_{i=1} a_i)(\sum^n_{i=1} a_iIA_i^2)-\sum_{1\leq i <j \leq n} a_ia_jA_iA_j^2=0 $
<->$\frac{\sum_{1\leq i <j \leq n} a_ia_jA_iA_j^2}{\sum^n_{i=1} a_i}=\sum^n_{i=1}a_iIA_i^2 $(đpcm)

25-08-2008, 06:16 PM	#34
nbkschool +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2007 Đến từ: SMU Residence @Prinsep Hostel, 83 Prinsep Street, Singapore Bài gởi: 400 Thanks: 72 Thanked 223 Times in 106 Posts	Xin lỗi về sự chậm trễ của em,kể từ hôm nay là mỗi ngày đều phải học trọn sáng chiều ở trường rùi,hixhix I.32)Công thức Lagrange mở rộng. Định lý: Gọi I là tâm tỉ cự của hệ điểm $\{A_1,...,A_n \} $ ứng với các hệ số $a_1,...a_n $ thì với mọi điểm M: $\sum^n_{i=1}a_iMA_i^2=\frac{\sum_{1\leq i <j \leq n} a_ia_jA_iA_j^2}{\sum^n_{i=1} a_i}+(\sum^n_{i=1} a_i)MI^2 $ Chứng minh: Từ hệ thức Jacobi (có thể xem ở mục I.24) thì ta chỉ cần chứng minh rằng: $\frac{\sum_{1\leq i <j \leq n} a_ia_jA_iA_j^2}{\sum^n_{i=1} a_i}=\sum^n_{i=1}a_iIA_i^2 $ Do I là tâm tỉ cự của hệ điểm nên: $(\sum^n_{i=1}a_i\vec{IA_i})^2=0 $ <->$\sum^n_{i=1} a_i^2IA_i^2 + 2.(\sum_{1\leq i <j \leq n}a_ia_j\vec{IA_i}.\vec{IA_j}) =0 $ <->$\sum^n_{i=1} a_i^2IA_i^2 +[\sum_{1\leq i <j \leq n}a_ia_j(IA_i^2+IA_j^2-A_iA_j^2)]=0 $ <->$(\sum^n_{i=1} a_i)(\sum^n_{i=1} a_iIA_i^2)-\sum_{1\leq i <j \leq n} a_ia_jA_iA_j^2=0 $ <->$\frac{\sum_{1\leq i <j \leq n} a_ia_jA_iA_j^2}{\sum^n_{i=1} a_i}=\sum^n_{i=1}a_iIA_i^2 $(đpcm) __________________ "Apres moi,le deluge" thay đổi nội dung bởi: ma 29, 26-08-2008 lúc 06:55 AM