Ngày thi thứ nhất.
Bài 1. Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân có $D,E,F$ lần lượt là trung điểm $BC,CA,AB.$ Gọi $(O),({O}')$ lần lượt là tâm ngoại tiếp và tâm Euler của tam giác. Xét điểm $P$ bên trong tam giác $DEF$ và $DP,EP,FP$ cắt lại $({O}')$ lần lượt tại ${D}',{E}',{F}'$. Gọi ${A}'$ là điểm đối xứng với $A$ qua ${D}'.$ Xác định tương tự với ${B}',{C}'.$
a) Nếu $PO=P{O}'$, chứng minh rằng $({A}'{B}'{C}')$ đi qua $O.$
b) Lấy $X$ đối xứng với ${A}'$ qua đường thẳng $OD.$ Xác định tương tự với $Y,Z.$ Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ và $XH,YH,ZH$ cắt $BC,CA,AB$ theo thứ tự tại $M,N,K.$ Chứng minh rằng $M,N,K$ thẳng hàng.
Bài 2. Với $m$ là số nguyên dương, xét bảng ô vuông $m\times 2018$ gồm $m$ hàng, $2018$ cột mà trong đó có một vài ô trống, còn một vài ô được đánh số $0$ hoặc $1.$ Bảng được gọi là “đầy đủ” nếu với bất kỳ chuỗi nhị phân $S$ có $2018$ ký tự nào, ta đều có thể chọn ra một hàng nào đó của bảng rồi điền thêm $0,1$ vào đó để $2018$ ký tự của hàng tạo thành chuỗi $S$ (nếu chuỗi $S$ đã có sẵn trên hàng nào đó rồi thì coi như thỏa mãn). Bảng được gọi là “tối giản” nếu nó đầy đủ và nếu ta bỏ đi bất kỳ hàng nào thì nó không còn đầy đủ nữa.
a) Cho $k\le 2018,$ chứng minh rằng tồn tại bảng tối giản ${{2}^{k}}\times 2018$ sao cho có đúng $k$ cột có đủ cả $0$ lẫn $1.$
b) Cho bảng tối giản $m\times 2018$ có đúng $k$ cột có chứa $0,1$, các cột còn lại đều trống. Chứng minh rằng $m\le {{2}^{k}}.$
Bài 3. Cho số nguyên dương $n\ge 3$ và ${{A}_{n}}$ là tập hợp tất cả các số nguyên dương nhỏ hơn $n,$ nguyên tố cùng nhau với $n.$ Xét đa thức $${{P}_{n}}(x)=\sum\limits_{k\in {{A}_{n}}}{{{x}^{k-1}}}.$$
a) Chứng minh rằng ${{P}_{n}}(x)=({{x}^{{{r}_{n}}}}+1)Q_n(x)$ với ${{r}_{n}}$ là số nguyên dương nào đó, còn $Q_n(x)$ là một đa thức hệ số nguyên (không nhất thiết khác hằng).
b) Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để đa thức ${{P}_{n}}(x)$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}.$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]