Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn - Khám phá định lý Ptô-lê-mê

chien than · 10-11-2007, 07:06 PM

Bài toán 2: Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp, O là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm G. Giả sử rằng $\widehat{OIA}=90^o $. Chứng minh rằng $IG $ song song với $BC $.

Hình minh họa (hinh 7)

Kéo dài $AI $ cắt $(O) $ tại $N $. Khi đó $N $ là điểm chính giữa cung $BC $ (không chứa $A $).
Ta có: $BN=NC (1) $. Lại có :
$\widehat{IBN} = \widehat{BIN} \Rightarrow BN=IN (2) $
Do $OI \perp AE $ suy ra $IA=IN= \frac{1}{2} $ sđ cung $BC(3) $
Từ $(1), (2), (3) \Rightarrow BN=NC=IN=IA (4) $
Áp dụng định lí Ptô-lê-mê cho tứ giác nội tiếp $ABNC $ ta có:
$BN.AC+AB.NC=BC.AN $
Từ $(4) \Rightarrow BN(AC+AB)=2BN.BC \Rightarrow AC+AB=2BC (5) $
Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác và (5) ta có:
$\frac{AB}{BD} = \frac{IA}{ID} = \frac{AC}{CD} = \frac{AB+AC}{BD+CD} \\ = \frac{AB+AC}{BC} = \frac{2BC}{BC}=2 $
Vậy $\frac{IA}{ID} =2 (6) $
Mặt khác G là trọng tâm của tam giác suy ra $\frac{AG}{GM}=2 (7) $
Từ $(6), (7) \Rightarrow \frac{IA}{ID}=2=\frac{AG}{GM} $
Suy ra IG là đường trung bình của tam giác $ADM $ hay $IG $ song song với $BC $.

Đây là một bài toán khá là hay ít nhất là đối với THCS và với cách làm có vẻ "ngắn gọn" này ta đã phần nào hình dung được vẻ đẹp của các định lí.

10-11-2007, 07:06 PM	#4
chien than +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: Toán 1 K41 trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội Bài gởi: 138 Thanks: 1 Thanked 113 Times in 53 Posts	Bài toán 2: Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp, O là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm G. Giả sử rằng $\widehat{OIA}=90^o $. Chứng minh rằng $IG $ song song với $BC $. Hình minh họa (hinh 7) Kéo dài $AI $ cắt $(O) $ tại $N $. Khi đó $N $ là điểm chính giữa cung $BC $ (không chứa $A $). Ta có: $BN=NC (1) $. Lại có : $\widehat{IBN} = \widehat{BIN} \Rightarrow BN=IN (2) $ Do $OI \perp AE $ suy ra $IA=IN= \frac{1}{2} $ sđ cung $BC(3) $ Từ $(1), (2), (3) \Rightarrow BN=NC=IN=IA (4) $ Áp dụng định lí Ptô-lê-mê cho tứ giác nội tiếp $ABNC $ ta có: $BN.AC+AB.NC=BC.AN $ Từ $(4) \Rightarrow BN(AC+AB)=2BN.BC \Rightarrow AC+AB=2BC (5) $ Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác và (5) ta có: $\frac{AB}{BD} = \frac{IA}{ID} = \frac{AC}{CD} = \frac{AB+AC}{BD+CD} \\ = \frac{AB+AC}{BC} = \frac{2BC}{BC}=2 $ Vậy $\frac{IA}{ID} =2 (6) $ Mặt khác G là trọng tâm của tam giác suy ra $\frac{AG}{GM}=2 (7) $ Từ $(6), (7) \Rightarrow \frac{IA}{ID}=2=\frac{AG}{GM} $ Suy ra IG là đường trung bình của tam giác $ADM $ hay $IG $ song song với $BC $. Đây là một bài toán khá là hay ít nhất là đối với THCS và với cách làm có vẻ "ngắn gọn" này ta đã phần nào hình dung được vẻ đẹp của các định lí.