Trích:
Nguyên văn bởi visaolangle00  Cho dãy số được xác định như sau: $\left\{\begin{matrix} x_1=\dfrac{2}{3} & \\ x_{n+1}=\dfrac{x_n}{2(2n+1)x_n+1}(n=1,2...)& \end{matrix}\right.$ Hãy tính tổng của 2001 số hạng đầu tiên của dãy số. |
Hướng dẫn:
Từ bài toán suy ra $x_n\ne 0,\forall n$. Và $$x_{n+1}=\dfrac{x_n}{2(2n+1)x_n+1}\Leftrightarrow \dfrac{1}{x_{n+1}}= \dfrac{1}{x_n}+4n+2\ (1)$$ Chú ý $4n+2=2(n+1)^2-2n^2$ nên $(1)$ suy ra $$\dfrac{1}{x_{n+1}}-2(n+1)^2= \dfrac{1}{x_n}-2n^2=...=\dfrac{1}{x_1}-2=- \dfrac{1}{2}\Rightarrow \dfrac{1}{x_{n+1}}=2(n+1)^2 - \dfrac{1}{2}\Rightarrow x_n= \dfrac{1}{2n-1}- \dfrac{1}{2n+1}$$ Do đó $S_{2001}=x_1+...+x_{2001}=1- \dfrac{1}{3}+ \dfrac{1}{3}- \dfrac{1}{5}+...+ \dfrac{1}{4001}- \dfrac{1}{4003}=1- \dfrac{1}{4003}= \dfrac{4002}{4003}$.\\
*Nhận xét: $S_n= \dfrac{2n}{2n+1}$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]