I.11) Định lý Pascal
Định lý: Cho 6 điểm A,B,C,D,E,F cùng thuộc một đường tròn. Khi đó các giao điểm của các cặp cạnh AB và DE, BC và EF, CD và FA thẳng hàng.
Chứng minh: Gọi P,M,N lần lượt là giao điểm của AF và CD, AB và DE, BC và EF. Gọi P', M', N' lần lượt là giao điểm của BC và DE, BC và AF, DE và AF.
Áp dụng định lí Menelaus cho $\Delta $ P'M'N' với cát tuyến PCD:
$\frac{\bar{CP'}}{\bar{CM'}}.\frac{\bar{DN'}}{\bar{ DP'}}.\frac{\bar{PM'}}{\bar{PN'}}=1 $
$\Leftrightarrow \frac{\bar{PM'}}{\bar{PN'}}=\frac{\bar{CM'}}{\bar{ CP'}}.\frac{\bar{DP'}}{\bar{DN'}} $
Tương tự ta có:
$\frac{\bar{NP'}}{\bar{NM'}}=\frac{\bar{FN'}}{\bar{ FM'}}.\frac{\bar{EP'}}{\bar{EN'}} $ và $\frac{\bar{MN'}}{\bar{MP'}}=\frac{\bar{AN'}}{\bar{ AM'}}.\frac{\bar{BM'}}{\bar{BP'}} $
Nhân các biểu thức trên lại kết hợp với các biểu thức phương tích sau:
$\bar{BM'}.\bar{CM'}=\bar{AM'}.\bar{FM'} $
$\bar{EN'}.\bar{DN'}=\bar{FN'}.\bar{AN'} $
$\bar{CP'}.\bar{BP'}=\bar{DP'}.\bar{EP'} $
Ta có :
$\frac{\bar{NP'}}{\bar{NM'}}.\frac{\bar{MN'}}{\bar{ MP'}}.\frac{\bar{PM'}}{\bar{PN'}}=1 $.
Áp dụng định lí Menelaus đảo ta có đpcm.
Các bạn có thể vào đây xem thêm:
http://www.math.ust.hk/mathematical_...bur/v10_n3.pdf