Trích:
Nguyên văn bởi Mrlinhkt  Tìm tất cả hàm f:R->R thỏa mãn:
$f(xf(x)+f(y))=y+(f(x))^2 $ đúng với mọi x,y thuộc R |
bài này thì quá quen thuộc rồi mà bạn:facebowling:
Cho $x=0 $ ta được $f(f(y))=f(0)^2+y $
Từ đây suy ra nếu $f(y_1)=f(y_2) $ thì $y_1=y_2 $
Như thế f là một đơn ánh
Do đó tồn tại số a sao cho $f(a)=0 $
thay $x=y=a $ ta được $f(0)=a $
lại có $f(f(a))=f(0)^2+a{\rightarrow}f(0)=(f(0))^2+a $
${\rightarrow}a=(f(0)^2+a{\rightarrow}f(0)=0{\right arrow}a=0 $
Vậy $f(f(x))=x $ với mọi $x{\in}R $
cho $y=0 $ ta có $f(x.f(x))=(f(x))^2 $
${\rightarrow}f(f(f(x)).f(x))=(f(f(x)))^2{\rightarr ow)f(x)^2=x^2 $
${\rightarrow}f(x)=x $ hoặc $f(x)=-x $
bây giờ giả sử có hai số $a,b{\neq}0 $ sao cho $f(a)=a $ và $f(b)=-b $
thay $x=a,y=b $ ta được $f(-a^2+b^2)=a^2+b^2{\neq}{\pm}(-a^2+b) $, mâu thuẫn
Vậy $f(x)=x $ với mọi $x{\in}R $
hoặc $f(x)=-x $ với mọi $x{\in}R $:burnjossstick:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]