Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn

**namdung** · 01-02-2013, 12:00 AM

Chào các bạn,

Như vậy danh sách các thí sinh tham dự kỳ thi chọn đội tuyển toán dự IMO 2013 đã được xác định. Họ sẽ tiếp tục tranh tài với nhau để chọn ra 6 bạn có phong độ tốt nhất đại diện cho Việt Nam tại kỳ thi toán lớn nhất dành cho học sinh toàn thế giới.

Để chuẩn bị cho kỳ thi này, giúp các thí sinh có điều kiện làm quen với các bài toán "mức độ TST", cũng như thảo luận một số bài toán của các kỳ TST trước đó, bổ sung một số kiến thức và kỹ năng cần thiết cho các thí sinh, chúng tôi lập ra chủ đề này.

Chúng tôi sẽ lần lượt gửi lên các đề toán với nhiều mức độ: trung bình, tương đối khó, khó và rất khó thuộc về 4 phân môn: Đại số, Hình học, Số học và Tổ hợp. Chúng ta sẽ cùng giải, thảo luận, bình luận về cách giải, về phương pháp giải, về các kiến thức lý thuyết liên quan, và nêu các bài toán cùng dạng.

Chú ý rằng kinh nghiệm của các kỳ TST trước cho thấy, để lọt vào đội tuyển thì phải làm được các bài trung bình và tương đối khó một cách hoàn hảo và kiếm điểm được ở những bài khó, trong đó vế đầu gần như là điều kiện tiên quyết. Vì thế các bạn cũng chú ý giải cẩn thận và chi tiết những bài thuộc loại trung bình và cũng đừng quá hoang mang khi thấy một số bài gần như "ngoài vùng phủ sóng" của các bạn.

Chúng ta bắt đầu từ 4 bài toán đầu tiên (làm trong 450 phút):

1. Cho 0 < a, b, c, d < 1 và abcd = (1-a)(1-b)(1-c)(1-d). Chứng minh rằng
$ (a+b+c+d) - (a+c)(b+d) \ge 1 $

2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n > 1 tổng $1^{1} + {3}^{3} + {5}^{5} + ... + {(2^n-1)^{2^n-1} $ chia hết cho $2^n $ nhưng không chia hết cho $2^{n+1} $

3. Cho tam giác nhọn ABC. M, N là trung điểm các cạnh AB, AC tương ứng và gọn P là hình chiếu của N lên cạnh BC và $A_1 $ là trung điểm của MP. Các điểm $B_1, C_1 $ được xây dựng một cách tương tự. Chứng minh rằng nếu $AA_1, BB_1, CC_1 $ đồng quy tại một điểm thì tam giác ABC cân.

4. Một đường tròn màu xanh được chia bởi 100 điểm màu đỏ thành các cung có độ dài theo một thứ tự tùy ý nào đó là 1, 2, ..., 100. Chứng minh rằng tồn tại một đường kính có hai đầu mút màu đỏ.

Chủ đề mong nhận được sự ủng hộ và chung tay của các thầy giáo, các cựu IMO, cựu TST, cựu VMO để cùng hướng dẫn, chia sẻ kinh nghiệm.

Chú ý khi post đề bài lên cần cân nhắc và chọn lọc kỹ càng, với mỗi bài toán nên gắn liền với một phương pháp, một kỹ thuật cụ thể mà các bạn muốn truyền đến cho các bạn thí sinh. Gọi là Quý hồ tinh bất quý hồ đa.

01-02-2013, 12:00 AM	#1
namdung Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Tp Hồ Chí Minh Bài gởi: 1,343 Thanks: 209 Thanked 4,066 Times in 778 Posts	Tiến tới kỳ thi Vietnam TST 2013 Chào các bạn, Như vậy danh sách các thí sinh tham dự kỳ thi chọn đội tuyển toán dự IMO 2013 đã được xác định. Họ sẽ tiếp tục tranh tài với nhau để chọn ra 6 bạn có phong độ tốt nhất đại diện cho Việt Nam tại kỳ thi toán lớn nhất dành cho học sinh toàn thế giới. Để chuẩn bị cho kỳ thi này, giúp các thí sinh có điều kiện làm quen với các bài toán "mức độ TST", cũng như thảo luận một số bài toán của các kỳ TST trước đó, bổ sung một số kiến thức và kỹ năng cần thiết cho các thí sinh, chúng tôi lập ra chủ đề này. Chúng tôi sẽ lần lượt gửi lên các đề toán với nhiều mức độ: trung bình, tương đối khó, khó và rất khó thuộc về 4 phân môn: Đại số, Hình học, Số học và Tổ hợp. Chúng ta sẽ cùng giải, thảo luận, bình luận về cách giải, về phương pháp giải, về các kiến thức lý thuyết liên quan, và nêu các bài toán cùng dạng. Chú ý rằng kinh nghiệm của các kỳ TST trước cho thấy, để lọt vào đội tuyển thì phải làm được các bài trung bình và tương đối khó một cách hoàn hảo và kiếm điểm được ở những bài khó, trong đó vế đầu gần như là điều kiện tiên quyết. Vì thế các bạn cũng chú ý giải cẩn thận và chi tiết những bài thuộc loại trung bình và cũng đừng quá hoang mang khi thấy một số bài gần như "ngoài vùng phủ sóng" của các bạn. Chúng ta bắt đầu từ 4 bài toán đầu tiên (làm trong 450 phút): 1. Cho 0 < a, b, c, d < 1 và abcd = (1-a)(1-b)(1-c)(1-d). Chứng minh rằng $ (a+b+c+d) - (a+c)(b+d) \ge 1 $ 2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n > 1 tổng $1^{1} + {3}^{3} + {5}^{5} + ... + {(2^n-1)^{2^n-1} $ chia hết cho $2^n $ nhưng không chia hết cho $2^{n+1} $ 3. Cho tam giác nhọn ABC. M, N là trung điểm các cạnh AB, AC tương ứng và gọn P là hình chiếu của N lên cạnh BC và $A_1 $ là trung điểm của MP. Các điểm $B_1, C_1 $ được xây dựng một cách tương tự. Chứng minh rằng nếu $AA_1, BB_1, CC_1 $ đồng quy tại một điểm thì tam giác ABC cân. 4. Một đường tròn màu xanh được chia bởi 100 điểm màu đỏ thành các cung có độ dài theo một thứ tự tùy ý nào đó là 1, 2, ..., 100. Chứng minh rằng tồn tại một đường kính có hai đầu mút màu đỏ. Chủ đề mong nhận được sự ủng hộ và chung tay của các thầy giáo, các cựu IMO, cựu TST, cựu VMO để cùng hướng dẫn, chia sẻ kinh nghiệm. Chú ý khi post đề bài lên cần cân nhắc và chọn lọc kỹ càng, với mỗi bài toán nên gắn liền với một phương pháp, một kỹ thuật cụ thể mà các bạn muốn truyền đến cho các bạn thí sinh. Gọi là Quý hồ tinh bất quý hồ đa.