Xem bài viết đơn
Old 19-06-2010, 01:02 AM   #40
nguoimay
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Bài gởi: 33
Thanks: 12
Thanked 8 Times in 7 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi psquang_pbc View Post


4, Tìm số các số nguyên dương có $n $ chữ số thuộc tập $\{2,3,5,7\} $ sao cho số đó chia hết cho 3
Bài này có 1 lời giải tương đối đẹp và mình nhớ không nhầm thì có 1 bài tương tự cũng đã được giải bằng phương pháp này.
Ta xét đa thức sau $f(n)=(x^2+x^3+x^5+x^7)^n $
Khi đó dễ thấy rằng tổng tấp cả các hạng tử trong khai triển f(n) có số mũ chia hết cho 3 chính là số các số nguyên dương có n chữ số thõa mãn đề bài. Đặt A,B,C lần lượt là tổng tất cả các hạng tử có số mũ chia hết cho 3, chia 3 dư 1 và chia 3 dư 2.
Gọi $e $ là 1 nghiệm của pt $x^3=1 $ thì tập nghiệm của pt này là $\{e,e^2,1\} $ và cũng dễ thấy rằng $e $và $e^2 $ là 2 nghiệm của $pt x^2+x+1=0 $.
Ta có $A+B+C=f(1)=4^n $
$A+B(e)+C(e^2)=f(e)=(2e^2+e+1)^n=e^{2n} $
$A+B(e^2)+C(e)=f(e^2)=(e^2+2e+1)^n=e^n $
Từ đây ta được $A=\frac{(f(1)+f(e)+f(e^2))}{3}=\frac{(4^n+e^n+e^{2 n})}{3} $
Từ đây nếu n chia hết cho 3 thì $A=\frac{4^n+2}{3} $ ngược lại $A=\frac{4^n-1}{3} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Chuyên Toán LQDQT 0811
nguoimay is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to nguoimay For This Useful Post:
chemmath (16-07-2010), nguyentatthu (19-06-2010)
 
[page compression: 8.95 k/10.11 k (11.43%)]