Xem bài viết đơn
Old 13-01-2019, 01:50 PM   #6
hung.vx
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 36
Thanks: 0
Thanked 13 Times in 7 Posts
Bài 3: Trước hết ta có các tính chất sau:
  1. Cho $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+....+a_nx^n$ và $a,b$ là các số thực dương. Khi đó $$\Gamma((ax+b)f(x))=(a^2+b^2)(a_0^2+a_1^2+...+a_n ^2)+2ab(a_0.a_1+a_1a_2+...+a_{n-1}.a_n).$$
  2. Từ tính chất trên suy ra $\Gamma((ax+b)f(x))=\Gamma((bx+a)f(x))$.
  3. Ta có $\Gamma((ax+b)^nf^n(x))=\Gamma((ax+b)^{n-1}(bx+a)f^n(x))=...=\Gamma((bx+a)^nf^n(x))$ với mọi số nguyên dương $n$.
Trở lại bài toán. Đặt $X=\{2;3;...;2020\}$, Gọi $A$ là tập con bất kỳ của $X$, đặt $Q_{A}(x)=(x+1)\prod\limits_{k \notin A} {\left( {x + k} \right)}\prod\limits_{k \in A} {\left( {kx + 1} \right)}$.
Áp dụng tính chất $(2)$, ta được $\Gamma(Q_A(x))=\Gamma(P(x))$ và cũng từ tính chất $(3)$ suy ra $\Gamma(Q_A^n(x))=\Gamma (P^n(x))$ với mọi số nguyên dương $n$. Hay $Q_A(x)$ là một đa thức thỏa mãn điều kiện bài toán. Do tập $X$ có $2^{2019}$ tập con. Nên có ít nhất $2^{2019}$ đa thức thỏa mãn yêu cầu bài toán.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: hung.vx, 14-01-2019 lúc 10:55 AM
hung.vx is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
 
[page compression: 7.86 k/8.92 k (11.82%)]