Trích:
Nguyên văn bởi MathForLife Liệu có thể tổng quát lên bài toán sau không: Tìm tất cả các hàm f:R-->R: $f(ax+b)=cf(x)+d \forall x\in R $ với a,b,c,d là các hằng số thực. |
Đây là hướng giải theo những kiến thức tao biết:
Không sử dụng hàm tuần hoàn cũng có thể ra KQ là có vô số hàm thoả đề.
Dù chưa chứng minh đc nhưng có thể đoán những hàm $f(x) $ thoả đề phần lớn là những hàm đa thức.
Khi đó, ta có thể cm $a = c $ với mọi bậc của $f(x) $.
Và với mỗi bậc của $f(x) $, ta đều tìm đc vô số hàm thoả dề.
Ví dụ với $\deg{f(x)} = 1 $, đặt $f(x) = sx + p $. Thay vào tính toán, ta cm đc chỉ cần chọn $s , p $ thoả $p(c-1) = sb - d \ (*) $ là có đc một hàm thoả đề. Vậy là có vô số hàm bậc nhất thoả đề (do (*) là đường thẳng).
Với hướng cm như trên thì ngay cả khi $a \neq c $ ($f(x) $ ko là hàm đa thức) cũng có vô số $f(x) $ thoả (cho $f(x) = \frac{1}{P(x)} $ với $P(x) $ là hàm đa thức vô nghiệm rồi cm).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]