Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn

**mathandyou** · 10-08-2014, 07:34 PM

OLYMPIC GẶP GỠ TOÁN HỌC 2014
Lớp 11

Bài 1 : Cho $x,y,z>0$ và $\left ( x+y+z \right )\left ( \dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right )=\dfrac{27}{2}$. Chứng minh :
$$x^2+y^2+z^2\leq 2(xy+yz+zx)$$

Bài 2 : Đặt $\alpha =\sqrt[3]{3}$.
a) Chứng minh nếu $a,b,c$ hữu tỉ mà $a+b\alpha +c\alpha ^2=0$ thì $a=b=c=0$.
b) Tìm tất cả các đa thức có bậc nhỏ nhất với hệ số hữu tỉ thỏa mãn $P(\alpha +\alpha ^2)=3+\alpha$.
c) Tồn tại hay không đa thức $P(x)$ hệ số nguyên thỏa mãn $P(\alpha +\alpha ^2)=3+\alpha$ ?

Bài 3 :Cho tam giác $ABC$ không cân với các tiếp điểm trên $BC,CA,AB$ với đường tròn $(I)$ nội tiếp lần lượt là $D,E,F$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc $EF$ cắt $AB$ tại $X$. Giao của $(AEF)$ với $(ABC)$ là điểm $T$ khác $A$.
a) Gọi $M$ là trung điểm của cung $BC$ không chứa $A$ của đường tròn $(ABC)$. Chứng minh $T,D,M$ thẳng hàng.
b) Chứng minh $TX$ vuông góc $TF$.

Bài 4 : Có $2014$ đường thẳng $l_1,l_2,...,l_{2014}$ nằm trên mặt phẳng sao cho không có hai đường thẳng nào song song với nhau, không có ba đường nào đồng quy. Chứng minh tồn tại một đường gấp khúc $A_0A_1...A_{2014}$ gồm $2014$ đoạn thẳng nhỏ, sao cho đường gấp khúc này không tự cắt chính nó và ứng với mỗi $k$, $k\in \mathbb{N}$ và $k\leq 2014$ thì tồn tại $i$ sao cho đoạn $A_iA_{i+1}$ nằm trọn trên $l_k$.

10-08-2014, 07:34 PM	#1
mathandyou Moderator Tham gia ngày: Dec 2012 Đến từ: HCMUS Bài gởi: 557 Thanks: 259 Thanked 402 Times in 216 Posts	Olympic gặp gỡ Toán học 2014 Lớp 11 OLYMPIC GẶP GỠ TOÁN HỌC 2014 Lớp 11 Bài 1 : Cho $x,y,z>0$ và $\left ( x+y+z \right )\left ( \dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right )=\dfrac{27}{2}$. Chứng minh : $$x^2+y^2+z^2\leq 2(xy+yz+zx)$$ Bài 2 : Đặt $\alpha =\sqrt[3]{3}$. a) Chứng minh nếu $a,b,c$ hữu tỉ mà $a+b\alpha +c\alpha ^2=0$ thì $a=b=c=0$. b) Tìm tất cả các đa thức có bậc nhỏ nhất với hệ số hữu tỉ thỏa mãn $P(\alpha +\alpha ^2)=3+\alpha$. c) Tồn tại hay không đa thức $P(x)$ hệ số nguyên thỏa mãn $P(\alpha +\alpha ^2)=3+\alpha$ ? Bài 3 :Cho tam giác $ABC$ không cân với các tiếp điểm trên $BC,CA,AB$ với đường tròn $(I)$ nội tiếp lần lượt là $D,E,F$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc $EF$ cắt $AB$ tại $X$. Giao của $(AEF)$ với $(ABC)$ là điểm $T$ khác $A$. a) Gọi $M$ là trung điểm của cung $BC$ không chứa $A$ của đường tròn $(ABC)$. Chứng minh $T,D,M$ thẳng hàng. b) Chứng minh $TX$ vuông góc $TF$. Bài 4 : Có $2014$ đường thẳng $l_1,l_2,...,l_{2014}$ nằm trên mặt phẳng sao cho không có hai đường thẳng nào song song với nhau, không có ba đường nào đồng quy. Chứng minh tồn tại một đường gấp khúc $A_0A_1...A_{2014}$ gồm $2014$ đoạn thẳng nhỏ, sao cho đường gấp khúc này không tự cắt chính nó và ứng với mỗi $k$, $k\in \mathbb{N}$ và $k\leq 2014$ thì tồn tại $i$ sao cho đoạn $A_iA_{i+1}$ nằm trọn trên $l_k$. Nguồn:VMF __________________ Xét cho cùng, phần thưởng cao quý nhất mà công việc mang lại không phải là thứ bạn nhận được, mà nó vẽ nên chân dung con người bạn ra sao. [Only registered and activated users can see links. ]