[khtoan]

Nguyên văn bởi daitoancvp

Chứng minh BĐT sau bằng 3 cách
(TST VN 2006). Cho $x,y,z $ thuộc đoạn $[1;2] $. Chứng minh rằng:
$(x + y + z)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \ge 6\left( {\dfrac{x}{{y + z}} +\dfrac{y}{{x + z}} + \dfrac{z}{{x + y}}} \right) $

Mấy dạng này thì SOS cho nó khỏe,đỡ suy nghĩ cao siêu
Do $a,b,c\in [1,2] $ nên a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 $\Delta $
Để ý đẳng thức

$\sum \frac{a}{b+c}-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\sum \frac{(a-b)^2}{(a+c)(b+c)} $

Ta có thể viết bất đẳng thức cần chứng minh dưới dạng :

$P=S_{a}(b-c)^2+S_{b}(a-c)^2+S_{c}(a-b)^2\geqslant 0 $

Trong đó:

$S_{a}=\frac{1}{bc}-\frac{3}{(a+b)(a+c)} $
$S_{b}=\frac{1}{ac}-\frac{3}{(b+a)(b+c)} $
$S_{c}=\frac{1}{ab}-\frac{3}{(c+a)(c+b)} $

Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c $
Khi đó dễ thấy $S_{a}\geq 0 $ và $S_{b}\geq 0 $
-Nếu $S_{c}\geq 0 $ thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng
-Nếu $S_{c}\leq 0 $ thì
$P\geq S_{b}(a-b)^2+S_{c}(a-b)^2=(S_{b}+S_{c})(a-b)^2 $ ( do $(a-c)^2\geq (a-b)^2 $)

Vậy ta chỉ cần chứng minh $S_{b}+S_{c}\geq 0 $
Cái này xin không chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c hoặc a=2,b=c=1 và các hoán vị.

@Anh Huyện sửa dùm bài viết, em quote chẳng được.

Mod: Em viết code rất phức tạp và dùng quá nhiều các dấu {} nên rất dễ sai.
Chẳn hạn em viết $S_c $ thì có thể viết đơn giản

S_c

còn em viết

S_{c}

Thân.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]