I.39)Định lí con bướm với cặp đường thẳng Định lí:Cho tam giác $ABC $. Lấy $I $ là trung điểm của $BC $. Qua $I $ kẻ các đường thẳng $\Delta $ cắt $AB,AC $ tại $N,Q $, đường thẳng $\Delta' $ cắt $AB,AC $ tại $P,M $. Gọi $MN,PQ $ cắt $BC $ tại $F,E $. Khi đó ta có $I $ là trung điểm cưa $EF $
Chứng minh: 
Áp dụng định lí menelaus trong tam giác $ABC $ ta có các hệ thức sau:
$\frac{\bar{EB}}{\bar{EC}}.\frac{\bar{QC}}{\bar{QA} }.\frac{\bar{PA}}{\bar{PB}}=1 $
$\frac{\bar{FC}}{\bar{FB}}.\frac{\bar{NB}}{\bar{NA} }.\frac{\bar{MA}}{\bar{MC}}=1 $
$\frac{\bar{IB}}{\bar{IC}}.\frac{\bar{QC}}{\bar{QA} }.\frac{\bar{NA}}{\bar{NB}}=1 \Rightarrow \frac{\bar{QC}}{\bar{QA}}.\frac{\bar{NA}}{\bar{NB} }=1 $ (1)
$\frac{\bar{IC}}{\bar{IB}}.\frac{\bar{MA}}{\bar{MC} }.\frac{\bar{PB}}{\bar{PA}}=1 \Rightarrow \frac{\bar{MA}}{\bar{MC}}.\frac{\bar{PB}}{\bar{PA} }=1 $ (2)
từ (1) và (2) ta có:
$\frac{\bar{QC}}{\bar{QA}}.\frac{\bar{PA}}{\bar{PB} }=\frac{\bar{NB}}{\bar{NA}}.\frac{\bar{MA}}{\bar{M C}} \Rightarrow \frac{\bar{EB}}{\bar{EC}}=\frac{\bar{FC}}{\bar{FB} } $
Vậy $I $ là trung điểm của $EF $. (ĐPCM)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]