I.6) Định lý Desargues
Định lý: Cho tam giác ABC và tam giác A'B'C'. Khi đó AA', BB', CC' đồng quy khi và chỉ khi các giao điểm của BC và B'C', CA và C'A', AB và A'B' thẳng hàng.
Chứng minh: Gọi X, Y, Z là lần lượt là các giao điểm của các cặp cạnh BC và B’C’, CA và C’A’, AB và A’B’ .
Phần thuận:
Giả sử các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy tại S. Ta chứng minh X, Y, Z thẳng hàng.
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác SBC với cát tuyến XB'C' ta có:
$\frac{\bar{XB}}{\bar{XC}}.\frac{\bar{C'C}}{\bar{C' S}}.\frac{\bar{B'S}}{\bar{B'B}}=1 $ hay $\frac{\bar{XB}}{\bar{XC}} = \frac{\bar{SC'}}{\bar{SB'}}.\frac{\bar{BB'}}{\bar{ CC'}} $
Tương tự, ta có:
$\frac{\bar{YC}}{\bar{YA}} = \frac{\bar{SA'}}{\bar{SC'}}.\frac{\bar{CC'}}{\bar{ AA'}} $ và $\frac{\bar{ZA}}{\bar{ZB}} = \frac{\bar{SB'}}{\bar{SA'}}.\frac{\bar{AA'}}{\bar{ BB'}} $
Nhân từng vế các đẳng thức trên lại với nhau, và theo định lí Menelaus suy ra X, Y, Z thẳng hàng.
Phần đảo:
Giả sử các điểm X, Y, Z thẳng hàng. Ta chứng minh các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy.
Gọi S là giao điểm của AA’ và BB’. SC cắt đường thẳng AC’ tại C”.
Xét 2 tam giác ABC và A’B’C” có các đường nối các đỉnh tương ứng đồng quy, do đó theo phần thuận giao điểm của các cạnh tương ứng cũng đồng quy.
Ta thấy AB cắt A’B’ tại Z, AC cắt A’C” tại Y (do A’, C’, C” thẳng hàng), suy ra giao điểm X’ của BC và B’C” phải thuộc YZ. Tức là X’ là giao của YZ và BC nên X’ trùng với X.
Suy ra C” trùng với C’, hay AA’, BB’, CC’ đồng quy.