Trích:
Nguyên văn bởi dduclam  Tất nhiên $n(\sqrt[n]{n+1}-1)\rightarrow +\infty $ khi $n\rightarrow +\infty $. Xong!  |
Không biết anh dduclam có cách nào chứng minh kq trên ngắn gọn không nữa, em thử cách này!
Ta sẽ chứng minh rằng:
$lim(n\sqrt[n]{n}-n)=+\infty $
Thật vậy:
Trước hết, ta cần chứng minh:$lim\sqrt[n]{n}=1 $.
Ta xét:
$y=\sqrt[n]{n}\Rightarrow lny=\frac{lnn}{n}<\frac{\sqrt{n}}{n}=\frac{1}{ \sqrt{n}}\Rightarrow lim(lny)=0\Rightarrow limy=1 $
Ta có giới hạn cơ bản là:
$\lim_{x\rightarrow 0 }\frac{e^x-1}{x}=1\Rightarrow \lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{e^{\frac{1}{n}}-1}{\frac{1}{n}}=1\Rightarrow \lim_{n\rightarrow +\infty }n(\sqrt[n]{e}-1)=1 $
Do đó:
$\lim n(\sqrt[n]{n}-1)=lim[n(\sqrt[n]{e}-1)].\frac{\sqrt[n]{n}-1}{\sqrt[n]{e}-1}=lim[n(\sqrt[n]{e}-1)].\frac{1-\frac{1}{\sqrt[n]{n}}}{\sqrt[n]{\frac{e}{n}}-\frac{1}{\sqrt[n]{n}}}=+\infty $
Đến đây mới có điều tất nhiên ở trên được!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]