Gửi mọi người đề thi ngày thứ nhất, nguồn: blackhole.
Ngày thi thứ nhất (25/03/2014) Bài 1. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ thỏa mãn điều kiện $$f\left( 2m+f(m)+f(m)f(n) \right)=nf(m)+m$$ với mọi $m,n$ là các số nguyên.
Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, xét các điểm nguyên có tọa độ thuộc $$T=\left\{ (x;y):\left| x \right|,\left| y \right|\le 20,(x;y)\ne (0;0) \right\}.$$ Tô màu các điểm thuộc $T$ sao cho với mọi điểm có tọa độ $(x,y)\in T$ thì có đúng một trong hai điểm $(x;y)$ và $(-x;-y)$ được tô màu. Với mỗi cách tô như thế, gọi $N$ là số các bộ $({{x}_{1}};{{y}_{1}}),({{x}_{2}};{{y}_{2}})$ mà cả hai điểm này cùng được tô màu và ${{x}_{1}}\equiv 2{{x}_{2}},{{y}_{1}}\equiv 2{{y}_{2}}(\bmod 41)$. Tìm tất cả các giá trị có thể có của $N.$
Bài 3. Cho tam giác $ABC$ có $A<B<C$ và nội tiếp trong đường tròn $(O).$ Trên cung nhỏ $BC$ của $(O)$ và không chứa điểm $A$, lấy điểm $D$ tùy ý. Giả sử $CD$ cắt $AB$ ở $E$ và $BD$ cắt $AC$ ở $F$. Gọi ${{O}_{1}}$ là tâm đường tròn nằm trong tam giác $EBD$, tiếp xúc với $EB,ED$ và tiếp xúc với đường tròn $(O).$ Gọi ${{O}_{2}}$ là tâm đường tròn nằm trong tam giác $FCD$, tiếp xúc với $FC,FD$ và tiếp xúc với đường tròn $(O).$
a. Gọi $M$ là tiếp điểm của $({{O}_{1}})$ với $BE$ và $N$ là tiếp điểm của ${{O}_{2}}$ với $CF$. Chứng minh rằng đường tròn đường kính $MN$ luôn đi qua một điểm cố định.
b. Đường thẳng qua $M$ và song song với $CE$ cắt $AC$ ở $P$, đường thẳng qua $N$ và song song với $BF$cắt $AB$ ở $Q$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $(AMP),(ANQ)$ cùng tiếp xúc với một đường tròn cố định.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]