Trích:
Nguyên văn bởi 2M  $\dfrac{a}{c+a}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}\ge \dfrac{a+b+c}{a+b+c-\sqrt[3]{abc}}.$ |
Chuẩn hoá $a+b+c=1$ và từ bất đẳng thức quen thuộc
\[a{b^k} + b{c^k} + c{a^k} \ge \left( {a + b + c} \right){\sqrt[3]{{abc}}^k}={\sqrt[3]{{abc}}^k}\quad\forall\,k\in\mathbb N .\]
Đặt $\sqrt[3]{{abc}}=p$ ta có
\[\sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\left( {a{b^k} + b{c^k} + c{a^k}} \right)} \ge \sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {{p^k}} .\]
Tức là
$$\dfrac{a}{1-b}+\dfrac{b}{1-c}+\dfrac{c}{1-a}\ge \dfrac{1}{1-p}.$$
Ta có điều phải chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]