Bài 4 đề 4 Đặt $a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, b=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$. Khi đó công thức tổng quát của dãy Fibonacci được cho bởi công thức:
$F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}(a^n-b^n)$
Và xét dãy số $L_n=a^n+b^n$ có công thức truy hồi là $L_1=1,L_2=3, L_{n+1}=L_n+L_{n-1}$. Khi đó ta nhận xét một số tính chất của dãy (chứng minh bằng quy nạp) là $L_{4n}$ chia $5$ dư $2$ và $L_{4n+2}$ chia $5$ dư $3$.
Bây giờ ta có biến đổi:
$\frac{F_{5n}}{5F_n}=\frac{1}{5}(L_{2n}^2+L_{2n}(-1)^n-1)$
Đặt $k=\left \lfloor \frac{L_{2n}}{5} \right \rfloor$. Xét các trường hợp chẵn lẻ của $n$ ta đều có: $\frac{F_{5n}}{5F_n}=5k^2+5k+1$. Dễ thấy biểu thức này là số nguyên và chia $10$ dư $1$ nên nó có tận cùng là $1$. $\blacksquare$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]