[psquang_pbc]

Để cho đơn giản đề bài ta thay $2n $ quả cầu bằng $2n $ cung Phản chứng rằng kô có chuỗi n cung nào thỏa mãn điều kiện trên .Lấy 1 cung bất kì trong 2n cung đã cho, và đánh số 0. Theo chiều kim đồng hồ đánh số từ $1, 2n-1 $. Ta xét hàm $f(x) $ là số ghi trên cung đánh dấu $x ,0\le x\le 2n-1 $ .Kí hiệu nửa đường tròn thứ $k $ là tập các cung $k+1,k+2,..,k+n $ ( chỉ số lấy theo modun $2n $ ) Ta chia các cung đấy thành $2 $ tập tô xanh và đỏ. Tập các cung chia đỏ là 1 dãy tăng theo thặng dư mod $n $ ( $f(a_{i+1})=f(a_i)+1 $).Tập các cung tô xanh lại giảm. Kí hiệu các chỉ số đầu tiên của 2 loại cung trên là $r(k) $ và $b(k) $, từ đó điều kiện để đường tròn thứ $k $ chứa các số từ $1,2,...,n $ là $b(k)=r(k)-1 $ ( mod $n $)


Xét với nửa đường tròn $k+1 $ ta dễ chứng minh được rằng

$r(k+1)=r(k)+1 $ và $b(k+1)=b(k) $ hoặc là $r(k+1)=r(k) $ và $b(k+1)=b(k)-1 $

Do vậy

$r(k+1)-b(k+1)=r(k)-b(k)+1 $ nên tồn tại $k $ sao cho $r(k)-b(k)=1 $ mod $n $ CM xong


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]