Gọi 2 số hạng $x_{i},x_{j} $ là 2 số hạng đẹp nếu $i<j $ và $x_{i} $ xếp trước $x_{j} $.
Gọi $A $ là dãy đề cho và $\overline{A} $ là dãy ngược lại.
Rõ ràng khi đổi chỗ 2 số hạng cạnh nhau của $A $, ta được dãy $A^{'} $ hơn kém dãy $A $ một cặp số đẹp. Suy ra, sau khi đổi chỗ 2 số hạng đứng kề nhau một số chẵn lần liên tiếp, ta sẽ được dãy $A^{*} $ có số cặp số đẹp cung tính chẵn lẻ với số cặp số đẹp của $A $. (1)
Ta thấy rằng việc đổi chỗ 4 số hạng trong dãy như đề bài có thể thay bằng một số chẵn lần đổi chỗ liên tiếp 2 số hạng đứng cạnh nhau (với qui ước $x_{i},x_{j} $ đứng cạnh nhau nếu $\left | x_{i} -x_{j}\right | $ nhỏ nhất). (2)
Từ (1) và (2) suy ra sau một số lần bất kì đổi chỗ các số hạng của
dãy $A $ như đề bài, ta luôn nhận được một dãy có số cặp số đẹp cùng tính chẵn lẻ với số cặp số đẹp của $A $. (3)
Kí hiệu $s(A),s(\overline{A}) $ là số cặp số đẹp của $A $ và $\overline{A} $. Ta có:
$s(A)=(n-1)+(n-2)+ ... +1=\frac{n(n-1)}{2} $
$s(\overline{A})=0 $
mà từ (3) suy ra $s(A) $ và $s(\overline{A}) $ cùng tính chẵn lẻ nên $n(n-1)\vdots 4\Leftrightarrow n=4k\vee n=4k+1 $.
*-*
Với $ n=4k $: Để có $\overline{A} $, ta thực hiện đổi chỗ các bộ 4 số như sau:
$(x_{1};x_{2};x_{4k-1};x_{4k}) $, $(x_{3};x_{4};x_{4k-3};x_{4k-2}) $, ..., $(x_{2k-1};x_{2k};x_{2k+1};x_{2k+2}) $.
*-*
Với $ n=4k+1 $: Để có $\overline{A} $, ta thực hiện đổi chỗ các bộ 4 số như sau:
$(x_{1};x_{2};x_{4k};x_{4k+1}) $, $(x_{3};x_{4};x_{4k-2};x_{4k-1}) $, ..., $(x_{2k-1};x_{2k};x_{2k+2};x_{2k+3}) $.
Kết luận:Ta có thể nhận được dãy $\overline{A} $ từ dãy $A $ như cách của đề khi và chỉ khi $n $ chia hết cho 4 hoặc chia 4 dư 1.
mỏi tay quá!
