22-02-2018, 03:03 PM | #20 |
Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Tp Hồ Chí Minh Bài gởi: 1,343 Thanks: 209 Thanked 4,066 Times in 778 Posts | Đề 3 - Ngày 1, 22/2/2018 1. Cho đa giác đều $2017$ cạnh. Ta tô màu các đỉnh bởi 3 màu xanh, đỏ, vàng, với số lượng tương ứng là $a, b, c$ trong đó $a, b, c$ là các số tự nhiên lẻ. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác cân có đỉnh là đỉnh của đa giác chứa đủ ba màu xanh, đỏ, vàng. 2. Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $BE, CF$ là hai đường cao và $H$ là trực tâm. Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $H$ và song song với $BC$. Các đường thẳng đối xứng với $BE, CF$ qua $d$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $N, M$. $FM$ cắt $BE$ tại $X$, $EN$ cắt $CF$ tại $Y$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $HXY$ tiếp xúc với $(O)$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$. 3. Cho trước số nguyên dương $m>1$, chứng minh rằng tồn tại một đa thức hệ số nguyên $P(x)$ bất khả quy trên $\mathbb Z [x]$, có bậc $2018$ và có một nghiệm thực là $r$ thỏa mãn $m\mid \left( {1 + \left\lfloor {{r^n}} \right\rfloor } \right)$ với mọi số nguyên dương $n$. [RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] thay đổi nội dung bởi: namdung, 22-02-2018 lúc 04:47 PM Lý do: Sửa chi tiết bài 2 |
| |