[Ng_Anh_Hoang]

Nguyên văn bởi tranghieu95

Dễ thấy $f$ là hàm đơn ánh.
Cho $x=y=0$ thì $f(f(0))=f(0) \Rightarrow f(0)=0$
Cho $y=0 \Rightarrow f(f(x))=x \Rightarrow f$ là hàm song ánh.
Ta có: $f(f(x)+y)=f(f(x))+f(y) \Rightarrow f(x+y)=f(x)+f(y)$
Dễ thấy $f(nx)=nf(x), \forall n \in \mathbb{N}$
$\Rightarrow f(1)=n.f \left(\dfrac{1}{n} \right) \Rightarrow f \left(\dfrac{1}{n} \right)=\dfrac{f(1)}{n}$
Với $x=\dfrac{m}{n}, m, n \in \mathbb{N}; (m; n)=1$ thì
$f(x)=mf \left(\dfrac{1}{n} \right)=\dfrac{m}{n}.f(1)$
$\Rightarrow f(x)=xf(1)=ax, \forall x \in \mathbb{Q}, a$ là hằng số.
Thay vào gt ta đc $a= \pm 1$

Cảm ơn bạn. Cho mình hỏi tại sao $f(f(0))=f(0) \Rightarrow f(0)=0$? Và tại sao phải chứng minh hàm song ánh? Từ sau phần $f(x+y)=f(x)+f(y)$ chỉ dùng đến PT hàm Cauchy thôi mà?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]