Trích:
Nguyên văn bởi chungmathkb  Tôi đưa lên đây hai lời giải. Không biết có lời giải nào giống với trong sách thầy Tuấn không ?
Cách 1 :
Từ (2) cho $x=y=0$ được $f(0)=1$.
Từ (1) cho $x=-1$ suy ra $f(-1)=0$. Từ (2) cho $x=1$ và $y=-1$ được
$f(1) + f( - 1) = 1 + f(0)$, suy ra $f(1)=2$.
Từ (2) thay $y$ bởi $-x$ được $f(x) + f( - x) = 2 \Leftrightarrow f( - x) = 2 - f(x).$ Ta thu được các tính chất của hàm $f$ như sau :
\begin{align*}
&f\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{{f(x)}}{x},\,\,\forall x \ne 0.\\
&f( - x) = 2 - f(x),\,\,\forall x \in \mathbb{R}.\\
&f(x + 1) = f(x) + 1,\,\,\forall x \in \mathbb{R}.
\end{align*}Đặt $y=f(x)$. Khi đó $f(x + 1) = y + 1$ và
\begin{align*}
&f\left( {\dfrac{1}{{x + 1}}} \right) = \dfrac{{y + 1}}{{x + 1}},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} f\left( { - \dfrac{1}{{x + 1}}} \right) = 2 - \dfrac{{y + 1}}{{x + 1}} = \dfrac{{2x - y + 1}}{{x + 1}}\\
&f\left( {\dfrac{x}{{x + 1}}} \right) = f\left( { - \dfrac{1}{{x + 1}} + 1} \right) = \dfrac{{2x - y + 1}}{{x + 1}} + 1 = \dfrac{{3x - y + 2}}{{x + 1}}\tag{3}\\
&f\left( {\dfrac{{x + 1}}{x}} \right) = f\left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right) = 1 + f\left( {\dfrac{1}{x}} \right) = 1 + \dfrac{y}{x} = \dfrac{{x + y}}{x}\\
&f\left( {\dfrac{x}{{x + 1}}} \right) = f\left( {\dfrac{1}{{\dfrac{{x + 1}}{x}}}} \right) = \frac{{f\left( {\dfrac{{x + 1}}{x}} \right)}}{{\dfrac{{x + 1}}{x}}} = \frac{{\dfrac{{x + y}}{x}}}{{\dfrac{{x + 1}}{x}}} = \dfrac{{x + y}}{{x + 1}}.\tag{4}
\end{align*}
Từ (3) và (4) suy ra
$$\frac{{3x - y + 2}}{{x + 1}} = \frac{{x + y}}{{x + 1}} \Leftrightarrow 3x - y + 2 = x + y \Leftrightarrow 2x + 2 = 2y \Leftrightarrow y = x + 1.$$
Vậy $f(x) = x + 1,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {0,-1} \right\}$. Kết hợp với
$f(0)=1$, $f(-1)=0$ ta được $f(x) = x + 1,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$.
Thử lại thấy thoả mãn.
Cách 2: Ta có $f(0)=1$. Với $x\ne0$ ta có
\begin{align*}
f(x) &= f\left( {\frac{x}{2} + \frac{x}{2}} \right) = 2f\left( {\frac{x}{2}} \right) - 1 = 2.\frac{x}{2}f\left( {\frac{2}{x}} \right) - 1 = xf\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{x}} \right) - 1\\
&= x\left[ {2f\left( {\frac{1}{x}} \right) - 1} \right] - 1 = 2x.\frac{1}{x}f(x) - x - 1 = 2f(x) - x - 1.
\end{align*}
Suy ra $f(x) = x + 1,\,\,\forall x \ne 0$. Lại do $f(0)=1$ nên
$f(x) = x + 1,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$. Thử lại thấy thoả mãn. |
Mình làm như thế này. Hy vọng không sai.
Ta có $f\left( x+1 \right)-f\left( x \right)=1$ lần lượt thay từ từ ta có
$$\left\{ \begin{align}
& f\left( x+1 \right)=f\left( x \right)+1 \\
& f\left( x \right)=f\left( x-1 \right)+1 \\
& f\left( x-1 \right)=f\left( x-2 \right)+1 \\
& .... \\
& f\left( 1 \right)=f\left( 0 \right)+1 \\
\end{align} \right.$$
Cộng vế theo vế lại, ta được $$f\left( x+1 \right)=f\left( 0 \right)+x+1$$ mà $f\left( 0 \right)=1$ nê n $f\left( x+1 \right)=x+2$
Hay $f\left( x \right)=x+1$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]