Trích:
Nguyên văn bởi TrauBo  Có dạng này khá lạ mọi người xem thử ạ.  Bài 25: Tìm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa $$f(x+y)=\dfrac{f(x)+f(y)}{1-f(x).f(y)}$$ |
Lời giải:
Vì $f$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ nên $f$ liên tục. Đặt $f(x)=\tan g(x)$ với $g$ là hàm liên tục từ $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$.
\[
\begin{array}{l}
VP = \frac{{f\left( x \right) + f\left( y \right)}}{{1 - f\left( x \right)f\left( y \right)}} = \frac{{\tan g\left( x \right) + \tan g\left( y \right)}}{{1 - \tan g\left( x \right)\tan g\left( y \right)}} = \tan \left( {g\left( x \right) + g\left( y \right)} \right) \\
VT = \tan g\left( {x + y} \right) \\
\Rightarrow g\left( {x + y} \right) \equiv g\left( x \right) + g\left( y \right)\left( {\bmod \pi } \right) \quad (*)\\
\end{array}
\]
Nhận xét rằng nếu $g$ thỏa (*) thì $g+k\pi$ cũng thỏa (*). Do đó, ta chỉ cần xét:
\[
g\left( {x + y} \right) = g\left( x \right) + g\left( y \right)
\]
Theo phương trình hàm Cauchy thì $g(x)=ax$ với $a\in \mathbb{R} \Rightarrow f(x)=\tan ax\quad \forall x$.
Thử lại:...
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]