[quykhtn]

Nguyên văn bởi huynhcongbang

Bài 15. (tương tự TST 1992, bài 4 - TST 2007, bài 3)

Cho tam giác ABC nhọn và đặt $x=\cos A,y=\cos B,z=\cos C $. Chứng minh rằng

$\max \left\{ \frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2;\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+ 2;\frac{z}{x}+\frac{x}{z}+2 \right\}\ge \frac{2}{x+y+z-1}. $

Bài này có một lời giải khác như sau:
Đặt $ BC=a,CA=b,AB=c $.Không mất tổng quát,giả sử $ a \ge b \ge c $.
Ta sẽ chứng minh:
$ \frac{x}{z}+\frac{z}{x} \ge \frac{2}{x+y+z-1}-2 $.
Sử dụng định lí hàm số cosin có:

$ \frac{x}{z}+\frac{z}{x}-2 $

$=\frac{a(b^2+c^2-a^2)}{c(a^2+b^2-c^2)}+\frac{c(a^2+b^2-c^2)}{a(b^2+c^2-a^2)}-2 $

$=\frac{(a(b^2+c^2-a^2)-c(a^2+b^2-c^2))^2}{ac(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)} $

$ =\frac{(a-c)^2((a+c)^2-b^2)^2)}{ac(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)} $

.

Mặt khác, $ x+y+z-1=\frac{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}{2abc} $.
Do đó:

$ \frac{2}{x+y+z-1}-4 $

$=\frac{4abc}{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}-4 $

$ =\frac{4(abc-(a+c-b)(b^2-(a-c)^2))}{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)} $

$ =\frac{4((a-c)^2(a+c-b)+b(b-c)(b-a))}{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)} $

$ \le \frac{4(a-c)^2}{(b+c-a)(a+b-c)} $

.
Bài toán được chứng minh nếu:

$ \frac{(a-c)^2((a+c)^2-b^2)^2}{ac(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)} \ge \frac{4(a-c)^2}{(b+c-a)(a+b-c)} $

Hay là:

$ ((a+c)^2-b^2)^2(b^2-(a-c)^2) \ge 4ac(b^4-(a^2-c^2)^2) $

Chú ý rằng: $ (a+c)^2-b^2-2ac=a^2+c^2-b^2 > 0 $
Và $ ((a+c)^2-b^2)(b^2-(a-c)^2)-2(b^4-(a^2-c^2)^2) $
$=(a^2-c^2)^2+2b^2(a^2+c^2)-3b^4 $
$ \ge (b^2-c^2)^2+2b^2(b^2+c^2)-3b^4=c^4 > 0 $.
Suy ra điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.

Mình xin đóng góp tiếp các bài toán sau:
Bài 31.
Cho tam giác ABC nội tiếp (O),ngoại tiếp (I).(I) tiếp xúc với BC,CA,AB lần lượt tại D , E ,F.Gọi H là giao điểm của CI với DF , K là giao điểm của BI với DE và M là giao điểm của HE với KF.Chứng minh rằng O,M,I thẳng hàng.

Bài 32.
Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là $ a,b,c $.Gọi $ \ m_a , \ m_b ,\ m_c $ và $ \l_a , \l_b , \l_c $ là độ dài ba đường trung tuyến và ba đường phân giác trong .Chứng minh rằng:

$ (\ m_a+\ m_b+\ m_c )\left(\frac{1}{\l_a}+\frac{1}{l_b}+\frac{1}{\l_c} \right) \ge (a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right). $

Bài 33.
Cho $ p $ là số nguyên tố lớn hơn 3.Chứng minh rằng $ C_{2011p^{2010}-1}^{p-1}-1 $ chia hết cho $ p^{2012}. $

Bài 34.
Cho các số thực dương $ a,b,c $ thỏa mãn: $ a^2+b^2+c^2=3 $.
Chứng minh rằng:

$ \frac{a}{b+c^3}+\frac{b}{c+a^3}+\frac{c}{a+b^3} \ge \frac{3}{2}. $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]