Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn

xuanhai_10t2 · 08-05-2011, 04:10 PM

Lại thêm một ứng dụng nữa của bổ đề trên:

Bài 6:tìm tất cả các bộ $(x,y,n) $ thỏa mãn
$(x,n+1)=1 $ và $x^n+1=y^{n+1} $

Giải:có $x^n=y^{n+1}-1=(y-1)m $ với $m=y^n+y^{n-1}+..+1 $.Do đó $x^n $ chia hết cho$m $,ta có:
$m=(y-1)(y^{n-1}+2y^{n-2}+3y^{n-3}+...+(n-1)y+n)+(n+1) $
nên $n+1 $ chia hết cho $(m,y-1) $,mặt khác từ bổ đề suy ra $(m,y-1)=(n+1,y-1) $,từ đó ta có $n+1 $ chia hết cho$(y-1,n+1) $ nên $(m,y-1)=1 $.Vì $x^n=(y-1)m $ nên $m $ là lũy thừa của mốt số nguyên,nhưng:
$y^n<m<(y+1)^n=y^n+C^1_ny^{n-1}+..+C^{n-1}_ny+1 $ với mọi $n>1 $ suy ra $n=1 $ và $x=y^2-1 $.Do $(x,n+1)=(x,2)=1 $ nên $x $ lẻ và $y $ chẵn.Có nghĩa là tất cả các cặp số cần tìm có dạng $(a^2-1,a,1) $,trong đó $a $ là một số chẵn

08-05-2011, 04:10 PM	#3
xuanhai_10t2 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2010 Đến từ: Hà Nội Bài gởi: 27 Thanks: 2 Thanked 22 Times in 11 Posts	Lại thêm một ứng dụng nữa của bổ đề trên: Bài 6:tìm tất cả các bộ $(x,y,n) $ thỏa mãn $(x,n+1)=1 $ và $x^n+1=y^{n+1} $ Giải:có $x^n=y^{n+1}-1=(y-1)m $ với $m=y^n+y^{n-1}+..+1 $.Do đó $x^n $ chia hết cho$m $,ta có: $m=(y-1)(y^{n-1}+2y^{n-2}+3y^{n-3}+...+(n-1)y+n)+(n+1) $ nên $n+1 $ chia hết cho $(m,y-1) $,mặt khác từ bổ đề suy ra $(m,y-1)=(n+1,y-1) $,từ đó ta có $n+1 $ chia hết cho$(y-1,n+1) $ nên $(m,y-1)=1 $.Vì $x^n=(y-1)m $ nên $m $ là lũy thừa của mốt số nguyên,nhưng: $y^n<m<(y+1)^n=y^n+C^1_ny^{n-1}+..+C^{n-1}_ny+1 $ với mọi $n>1 $ suy ra $n=1 $ và $x=y^2-1 $.Do $(x,n+1)=(x,2)=1 $ nên $x $ lẻ và $y $ chẵn.Có nghĩa là tất cả các cặp số cần tìm có dạng $(a^2-1,a,1) $,trong đó $a $ là một số chẵn thay đổi nội dung bởi: xuanhai_10t2, 08-05-2011 lúc 04:11 PM Lý do: sửa đề