[thaygiaocht]

Nguyên văn bởi huynhcongbang

Bài 5. (7 điểm)

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, trong đó $BC$cố định và $A$ thay đổi trên $(O)$. Trên các tia $AB,AC$ lấy lần lượt các điểm $M$ và $N$ sao cho $MA=MC$ và $NA=NB$. Các đường tròn ngoại tiếp $AMN,ABC$ cắt nhau tại $P$ khác $A$. Đường thẳng $MN$ cắt $BC$ tại $Q$.
a. Chứng minh $A,P,Q$ thẳng hàng.
b. Gọi $D$ là trung điểm $BC$. Các đường tròn có tâm $M,N$ cùng đi qua $A$ cắt nhau tại $K$ khác $A$. Đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $AK$ cắt $BC$ tại $E$. Đường tròn ngoại tiếp $ADE$ cắt $(O)$ tại $F$ khác $A$. Chứng minh $AF$ đi qua một điểm cố định.

a) Chú ý các tứ giác $APCB, APNM, BCMN, CPQN$ nội tiếp nên dùng góc ta thấy $A, P, Q$ thẳng hàng.
Chú ý: Khi trình bày nên dùng góc định hướng đỡ phụ thuộc hình vẽ.

b) Mấu chốt ý này chính là $AK$ đi qua $O$ nên $AE$ là tiếp tuyến. Tác giả đã ghép cơ học 2 bài lại với nhau.
Mấu chốt ý sau là tứ giác $ABFC$ điều hòa, cái này khá quen thuộc (chú ý 5 điểm A,B,F,D,O đồng viên).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]