[pco]

SỐ HỌC.
Bài 6 làm thế này không biết có đúng không.
Lời giải. Đặt $T= \dfrac{b^2+ab+a+b-1}{a^2+ab+1}$. Ta có $$a \cdot T= b+1- \dfrac{a+b+1}{a^2+ab+1}$$
Nếu $T \in \mathbb{Z}$ thì $a \cdot T \in \mathbb{Z}$. Từ đó kết hợp với điều kiện $a,b \in \mathbb{Z}$ ta suy ra $a^2+ab+1|a+b+1 \qquad (1)$.

Nếu $a+b=-1$ thì $T$ luôn nguyên.

Nếu $a+b \ne -1$. Từ $(1)$ ta dẫn đến $a^2+ab+1|a(a+b+1) \Rightarrow a^2+ab+1|a+1 \qquad (2)$.

Gọi $\gcd (|a^2+ab+1|,|a+1|)=d \Rightarrow d|a^2+ab+1 \Rightarrow d|(a+1)^2+a(b-2) \Rightarrow d|a(b-2) \Rightarrow d|b-2$. Lại có từ $(2)$ nên ta suy ra $d=|a^2+ab+1||b-2 \qquad (3)$.
Mặt khác $a^2+ab+1|a+b+1$ và $a^2+ab+1|a+1$ nên $a^2+ab+1|b \qquad (4)$.
Kết hợp $(3)$ và $(4)$ thì ta suy ra $a^2+ab+1|2$.

1. Nếu $a^2+ab+1=1 \Rightarrow a(a+b)=0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} a=0 \\ a=-b \end{array} \right.$.
2. Nếu $a^2+ab+1=2 \Rightarrow a(a+b)=1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} a=1,b=0 \\ a=-1,b=0 \end{array} \right.$.
3. Nếu $a^2+ab+1=-1 \Rightarrow a(a+b)=-2 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} a=1,b=-3 \\ a=-1,b=3 \\ a=2,b=-3 \\ a=-2,b=3 \end{array} \right.$.
4. nếu $a^2+ab+1=-2 \Rightarrow a(a+b)=-3 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} a=1,b=-4 \\ a=-1,b=4 \\ a=3,b=-4 \\ a=-3,b=4 \end{array} \right.$.

Vậy phương trình có nghiệm nguyên $\boxed{ (a,b)=(0,k),(k,-k),(k,-1-k),(1,-3),(-1,3),(-2,3),(1,-4),(-1,4),(-3,4),(1,0),(-1,4)}$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]