Trích:
$\boxed{20}$ [Sài Gòn] Gọi $S$ là tập hợp các hoán vị của 164 số nguyên dương đầu tiên.- Tồn tại hay không một hoán vị $\left(a_1,\,a_2,\,\ldots ,\,a_{164}\right)\in S$, thỏa mãn với mỗi $i\in\{1,\,2,\,\ldots ,\,164\}$ luôn tồn tại $b_i\in\{0,\,1,\,\ldots ,\,40\}$ sao cho $a_1+a_2+\ldots+a_i\equiv b_i^2\pmod{41}$.
|
Không biết có lời giải đẹp không, chứ lời giải xét từng số dư cho 41 quá bẩn.
Đầu tiên xây dựng dãy: $\{0, 1, 40, 2, 39, 4, 37, 5, 36, 8, 33, 9, 32, 10, 31, 16, 25, 18, 23, 20, 21\}$. Với 20 số còn lại, ta chia thành 10 cặp mà tổng 2 số của 1 cặp chia hết cho 41. Với một cặp $(a, b)$ mà $a < b$, có thể kiểm tra được rằng tồn tại $i \in \{1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 16, 18, 20\}$, $j \in \{21, 23, 25, 31, 32, 33, 36, 37, 39, 40\}$ mà $b + i \equiv j$ modulo 41. Chèn cặp số $(b, a)$ vào ngay sau $i$ là xong.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]