Lâu ngày quá vào làm bài dãy chơi
.
Ý a) dễ rồi chứng minh $|x_{n+1}-1| < \dfrac{1}{2}|x_n-1|$ như bạn ở trên ok.
Ý b) mình chứng minh bằng quy nạp với lưu ý:
*) Nếu $x_n >1$ thì $x_{n+1} < 1$
*) Nếu $x_n <1$ thì $x_{n+1} > 1$
(Dễ thấy do $f(x) = \sqrt{x+8}-\sqrt{x+3}$ là hàm nghịch biến trên tập xác định)
Từ đó mình sẽ chứng minh:
+) $x_n+x_{n+1} < 2$ nếu $x_n < 1$
+) $x_n+x_{n+1} > 2$ nếu $x_n > 1$
(Xét hàm $f(x) = x+\sqrt{x+8}-\sqrt{x+3}$ là hàm đồng biến trên tập xác định)
Đến đây thì quy nạp như sau:
Giả sử $\displaystyle n \le \sum_{i=1}^n x_i \le n+1$. Ta chứng minh $\displaystyle n+1 \le \sum_{i=1}^{n+1} x_i\le n+2$.
Thật vậy,
+) Nếu $x_n > 1$ thì $x_{n+1} < 1$ nên $\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1} x_i =\sum_{i=1}^{n} x_i+x_{n+1} < (n+1)+1 = n+2$
Và do $x_n+x_{n+1}>2$ nên $\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1} x_i = \sum_{i=1}^{n-1} x_i+(x_n+x_{n+1}) > (n-1)+2 = n+1$.
+) Nếu $x_n < 1$ thì làm ngược lại.
P/s: Shout out to 2M
.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]