[NguyenNhatTan]

Cụ thể như thế này

Xét dãy $(u_{n}) $ với $u_{n}=n^{n+1}-(n+1)^{n},n \geq 3 $
Ta có:
$(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}=1+1+\sum_{k=2}^{n+1}C^{k}_ {n+1}.\frac{1}{(n+1)^{k}}=2+\sum_{k=2}^{n+1}\frac{ (n+1)!}{k!(n+1-k)!(n+k)^{k}} $
$<2+\sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k!}<2+\sum_{k=2}^{n+1} \frac{1}{(k-1)k}=2+\sum_{k=2}^{n+1}(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}) $
$=3-\frac{1}{n+1}<3 $
Do đó:
$(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}+(1-\frac{1}{n+1})^{n+1}<4<n+1=\frac{1}{n+1} $
$\Leftrightarrow (n+1)^{n+2}-(n+2)^{n+1}>n^{n+1}-(n+1)^{n} $
Vậy ($u_{n} $) là 1 dãy tăng với mọi $n \geq 3 $ ta có $u_{n} \geq u_{3}=17 $.
Giả sử tồn tại $a' $ sao cho$a'>17 $ và $n^{n+1} \geq (n+1)^{n}+a' $, với mọi $n \geq 3 $ suy ra $3^{4} \geq 4^{3}+a' \Rightarrow a' \leq 17 $ (mâu thuẫn)
Vậy max(a)=17

Từ đó có thể dẫn đến bài toán sau :
Tìm tất cả các nghiệm nguyên (x;y) của PT $x^{y}-y^{x}=17 $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]