| Giả sử phản chứng:Ta xếp các cung thành một đường tròn thỏa mãn và tô chúng màu đỏ,sau đó lấy đối xứng qua tâm rồi tô các cung thành màu xanh
Đánh số $6n$ điểm tạo ra từ $n$ cung 1,$n$ cung 2,$n$ cung 3 từ 1 đến $6n$ theo chiều kim đồng hồ
Theo giả thuyết phản chứng,cung đỏ và cung xanh không có chung đầu mút.Xét cung 1 đỏ,phải có 1 cung xanh chứa cung 1 đỏ này,dễ thấy cung đó phải là cung 3 xanh,thậm chí cung 3 xanh phải chứa cung đỏ ở chính giữa,đối xứng cung (*)
Bây giờ KMTTQ,xét cung 1 đỏ ở điểm 1,khi đó cung 3 xanh $(6n,1,2)$ chứa cung đỏ này,và do đó có cung 3 đỏ $(3n,3n+1,3n+2)$ chia đường tròn thành 2 nửa A:$3n+3->6n$ và B:$3->3n-1$.Với (*),ta khẳng định rằng mỗi một cung 3 đỏ ở $A$ tương ứng 1 cung 1 đỏ ở $B$ và ngược lại
Nói cách khác,gọi $a$ là số cung 2 đỏ ở $A$,$b$ là số cung 3 đỏ ở $A$,$c$ là số cung 1 đỏ ở A thì có $n-a$ cung 2 đỏ ở $B$,$c$ là số cung 3 đỏ ở $B$ và $b$ là số cung 3 đỏ ở $B$
Khi đó ta có:$2a+3b+c=3n-2$(do $A$ dài $3n-2$) và $b+c=n-1$(do có tất cả $n$ cung 3 đỏ,trừ đi cung $(3n,3n+1,3n+2)$)
=>$2(a+b)=2n-1$(vô lý)
Vậy ta có đpcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] |