Số 420 - Tháng 6/2012
CÁC LỚP THCS
$\fbox{Bài T1/420.}$
(Lớp 6). Tìm các giá trị nguyên của biểu thức $f(x;y)=\dfrac{x^2+x+2}{xy-1}$, trong đó $x, y$ là các số nguyên dương.
$\fbox{Bài T2/420.}$
(Lớp 7). Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân tại $A$. Đường trung trực của các cạnh $AB, AC$ theo thứ tự cắt trung tuyến $AM$ tại $E, F$. Gọi giao điểm của $BE$ và $CF$ là $K$. Chứng minh rằng $\widehat{AKB}=\widehat{AKC}, \widehat{MAB}=\widehat{KAC}$.
$\fbox{Bài T3/420.}$ Tìm tất cả các bộ ba số nguyên $(x;y;z)$ thỏa mãn đẳng thức: $2xy+6yz+3zx-|x-2y-z|=x^2+4y^2+9z^2-1$.
$\fbox{Bài T4/420.}$ Với mỗi số nguyên dương $n$ ($n=1,2,\ldots$), đặt $a_n=\dfrac{4n}{n^4+4}$. Chứng minh rằng $a_1+a_2+\cdots+a_n<\dfrac{3}{2}$
$\fbox{Bài T5/420.}$ Cho tam giác nhọn $ABC$, tia phân giác trong của góc $BAC$ cắt $BC$ tại $D$. Gọi $E, F$ thứ tự là hình chiếu vuông góc của $D$ trên $AB$ và $AC$, $K$ là giao điểm của $CE$ và $BF$, $H$ là giao điểm của $BF$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEK$. Chứng minh rằng $DH$ vuông góc với $BF$.
CÁC LỚP THPT
$\fbox{Bài T6/420.}$ Giải hệ phương trình $\begin{cases}x+6\sqrt{xy}-y=6\\x+\dfrac{6(x^3+y^3)}{x^2+xy+y^2}-\sqrt{2(x^2+y^2)}=3\end{cases}$
$\fbox{Bài T7/420.}$ Cho các số $a, b, c$ là các số thực không âm có tổng bằng $1$. Chứng minh rằng $(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) \ge \left(\dfrac{10}{9}\right)^3$
$\fbox{Bài T8/420.}$ Cho tam giác $ABC$ có diện tích $S$. Gọi $x, y, z$ lần lượt là khoảng cách từ một điểm $M$ trong tam giác đến ba đỉnh $A, B, C$. Chứng minh rằng $(x+y+z)^2 \ge 4\sqrt{3}S$. Đẳng thức xảy ra khi nào?
TIẾN TỚI OLYMPIC TOÁN
$\fbox{Bài T9/420.}$ Cho một tập hợp khác rỗng $S \subseteq \mathbb{Z}$ thỏa mãn các điều kiện sau:
$(i)$ Tồn tại hai phần tử $a,b\in \mathbb{Z}$ mà $(a,b)=(a-2,b-2)=1$.
$(ii)$ Nếu $x, y \in S$ thì $x^2-y \in S$ ($x,y$ không nhất thiết khác nhau).
Chứng minh rằng $S=\mathbb{Z}$.
(Kí hiệu $(a, b)$ chỉ ước chung lớn nhất của hai số nguyên $a$ và $b$)
$\fbox{Bài T10/420.}$ Tìm số $k$ lớn nhất sao cho $\sqrt{a+2b+3c}+\sqrt{b+2c+3a}+\sqrt{c+2a+3b} \ge k\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)$ đúng với mọi số dương $a, b, c$.
$\fbox{Bài T11/420.}$ Cho dãy $\left(x_n\right)$ ($n=1,2,\ldots$) được xác định như sau:
$$\begin{cases}x_1=\dfrac{1001}{1003}\\x_{n+1}=x_n-x_n^2+x_n^3-x_n^4+\cdots+x_n^{2011}-x_n^{2012} \forall n \in \mathbb{N^*}\end{cases}$$
Hãy tìm $\lim \limits_{n \to +\infty} \left(nx_n\right)$
$\fbox{Bài T12/420.}$ Cho bốn điểm $A, B, C, D$ khác nhau và cùng nằm trên một số dường tròn tâm $O$. Gọi $I, J$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $C$ xuống đường thẳng $AB$ và $AD$; $K, L$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $D$ xuống đường thẳng $BC$ và $BA$; $N$ là trung điểm của $CD$; $M$ là giao điểm của đường thẳng $IJ$ và $KL$. Giả sử đường thẳng $IJ$ và $OD$ cắt nhau tại $E$, $KL$ và $OC$ cắt nhau tại $F$.
Chứng minh năm điểm $M, N, O, E$ và $F$ cùng nằm trên một đường tròn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]