Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn

yYukataYy · 26-06-2012, 07:36 PM

Chào các bạn,

Mình có một vài bài tập về trù mật, mình đã làm, và rất mong các bạn có thể xem sơ qua lý luận của mình.

Hãy kiểm tra xem trong các không gian Topo $(X; \tau)$ sau, không gian nào là tách được (tồn tại một tập trù mật đếm được).

Tập $\mathbb{R}$ với topo thông thường

Giải
Tập trù mật đếm được là $\mathbb{Q}$ nên đây là không gian tách được.

Tập đếm được với topo liên tục

Giải
Tập trù mật đếm được là X, do đó đây là không gian tách được.

Tập đếm được với topo hữu hạn - đóng

Giải
Tập trù mật đếm được là X, do đó đây là không gian tách được.

Không gian topo $(X; \tau)$ với X hữu hạn

Giải
Tập trù mật đếm được là X, do đó đây là không gian tách được.

Không gian topo $(X; \tau)$ với $\tau$ hữu hạn

Giải
Giả sử $\tau = \{\emptyset; X; U_1; U_2; U_3; ... ; U_n\}$
Với mỗi $U_i, i = 1..n$ lấy phần tử $x_i \in U_i$
Tập $S = \{ x_1; x_2; ...; x_n \}$ hữu hạn, nên nó đếm được. Ta sẽ chứng minh S trù mật. Gọi $\delta S$ là tập các điểm dính của S.
Thật vậy, ta sẽ chứng minh $X \backslash S \subset \delta S$. Với mọi $x \in X \backslash S$, và với mọi tập mở U chứa x, vì ta có $\tau = \{\emptyset; X; U_1; U_2; U_3; ... ; U_n\}$, nên $U = U_j$ (với j nào đó), do đó $U \cap S \neq \emptyset$, vì $x_j$ nằm trong tập này.

Do đó, $X \backslash S \subset \delta S$, vậy $S \cup \delta S = X$, do đó X tách được.

Tập không đếm được với topo liên tục

Giải
Trong topo liên tục, với tập S bất kỳ, ta luôn có $S \cup \delta S = S$, do đó tập trù mật duy nhất là X, mà X không đếm được, nên đây là không gian không tách được.

Tập không đếm được với topo hữu hạn - đóng

Giải
Lấy $S = \{x_1; x_2; x_3; ... \}$ là tập vô hạn đếm được bất kỳ, ta sẽ chứng minh rằng bất kỳ x nào nằm trong phần bù của S đều là điểm dính của S. Thật vậy, với mọi tập mở U chứa x. $U \cap S \neq \emptyset$, vì $S \not \subset X \backslash U$, do S vô hạn còn $X \backslash U$ là hữu hạn. Vậy $S \cup \delta S = X$, do đó X tách được.

Không gian $(X; \tau)$ thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai (tồn tại một cơ sở đếm được)

Làm tương tự như câu 5, đây là không gian tách được.

Chú thích: Topo hữu hạn - đóng, mình dịch từ finite-close, không biết đây có phải tên của nó trong Tiếng Việt luôn không. Topo hữu hạn - đóng là topo mà các tập đóng của nó chỉ có X, và tất cả các tập con hữu hạn của X.

-------------------------------------

À, nhân tiện cho mình hỏi, làm sao mình có thể diễn tả dòng này bằng ký hiệu Toán Học được:
Với mọi x nằm trong phần bù của S, với mọi tập mở U chứa x, ta luôn có: $U \cap S \neq \emptyset$.

$\forall x \in S^c, \forall... $ làm sao mình diễn tả được U là tập mở và chứa x?

Mình cám ơn các bạn rất nhiều.

26-06-2012, 07:36 PM	#1
yYukataYy +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jun 2012 Bài gởi: 91 Thanks: 44 Thanked 21 Times in 19 Posts	Một vài bài tập về trù mật Chào các bạn, Mình có một vài bài tập về trù mật, mình đã làm, và rất mong các bạn có thể xem sơ qua lý luận của mình. Hãy kiểm tra xem trong các không gian Topo $(X; \tau)$ sau, không gian nào là tách được (tồn tại một tập trù mật đếm được). Tập $\mathbb{R}$ với topo thông thường Giải Tập trù mật đếm được là $\mathbb{Q}$ nên đây là không gian tách được. Tập đếm được với topo liên tục Giải Tập trù mật đếm được là X, do đó đây là không gian tách được. Tập đếm được với topo hữu hạn - đóng Giải Tập trù mật đếm được là X, do đó đây là không gian tách được. Không gian topo $(X; \tau)$ với X hữu hạn Giải Tập trù mật đếm được là X, do đó đây là không gian tách được. Không gian topo $(X; \tau)$ với $\tau$ hữu hạn Giải Giả sử $\tau = \{\emptyset; X; U_1; U_2; U_3; ... ; U_n\}$ Với mỗi $U_i, i = 1..n$ lấy phần tử $x_i \in U_i$ Tập $S = \{ x_1; x_2; ...; x_n \}$ hữu hạn, nên nó đếm được. Ta sẽ chứng minh S trù mật. Gọi $\delta S$ là tập các điểm dính của S. Thật vậy, ta sẽ chứng minh $X \backslash S \subset \delta S$. Với mọi $x \in X \backslash S$, và với mọi tập mở U chứa x, vì ta có $\tau = \{\emptyset; X; U_1; U_2; U_3; ... ; U_n\}$, nên $U = U_j$ (với j nào đó), do đó $U \cap S \neq \emptyset$, vì $x_j$ nằm trong tập này. Do đó, $X \backslash S \subset \delta S$, vậy $S \cup \delta S = X$, do đó X tách được. Tập không đếm được với topo liên tục Giải Trong topo liên tục, với tập S bất kỳ, ta luôn có $S \cup \delta S = S$, do đó tập trù mật duy nhất là X, mà X không đếm được, nên đây là không gian không tách được. Tập không đếm được với topo hữu hạn - đóng Giải Lấy $S = \{x_1; x_2; x_3; ... \}$ là tập vô hạn đếm được bất kỳ, ta sẽ chứng minh rằng bất kỳ x nào nằm trong phần bù của S đều là điểm dính của S. Thật vậy, với mọi tập mở U chứa x. $U \cap S \neq \emptyset$, vì $S \not \subset X \backslash U$, do S vô hạn còn $X \backslash U$ là hữu hạn. Vậy $S \cup \delta S = X$, do đó X tách được. Không gian $(X; \tau)$ thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai (tồn tại một cơ sở đếm được) Làm tương tự như câu 5, đây là không gian tách được. Chú thích: Topo hữu hạn - đóng, mình dịch từ finite-close, không biết đây có phải tên của nó trong Tiếng Việt luôn không. Topo hữu hạn - đóng là topo mà các tập đóng của nó chỉ có X, và tất cả các tập con hữu hạn của X. ------------------------------------- À, nhân tiện cho mình hỏi, làm sao mình có thể diễn tả dòng này bằng ký hiệu Toán Học được: Với mọi x nằm trong phần bù của S, với mọi tập mở U chứa x, ta luôn có: $U \cap S \neq \emptyset$. $\forall x \in S^c, \forall... $ làm sao mình diễn tả được U là tập mở và chứa x? Mình cám ơn các bạn rất nhiều. thay đổi nội dung bởi: yYukataYy, 26-06-2012 lúc 11:22 PM