[vnt.hnue]

Bài số 5
Đặt $a_{1}=a, a_{n}=b, a_{n+1}=x,a_{n+2}=x_{1},... $ với mọi $n$ lớn hơn hoặc bằng $N$.
Suy ra $x|ab$, dẫn đến $\frac{b}{x}+\frac{x-b}{a}=\frac{y}{a}+\frac{x-b}{a}=m$. Ta có hệ sau:
$x+y=ma+b$
$xy=ab$
Nếu $(a,b)>1$, gọi $p$ là một ước nguyên tố chung của $a,b$, thay vào hệ trên được ngay $p|x,p|y$. Vậy ta có thể chia bộ $a,b,x,y$ cho các ước nguyên tố $p$ cho đến khi $(a',b')=1$. Do đó $(a,b)|x_{n}$ với mọi $n$. Ta có:
$x'+y'=ma'+b'$
$x'y'=a'b'$
Suy ra $x'|a'b'$, dẫn đến $x_{n}|[a,b]$ $(1)$ và $(a,b)|x_{n}$
Tương tự, ta cũng có $(a,x_{n})|x_{n+1}$, suy ra
$(a,x_{n})|(a,x_{n+1})$, vậy:
$(a,x_{n})\leq (a,x_{n+1})\leq (a,x_{n+2}) \leq (a,x_{n+3}) \leq ....$
Chứng minh tương tự $(1)$, ta cũng có:
$[a,b] \geq [a,x] \geq ....\geq [a,x_{n}] \geq [a, x_{n+1}] \geq [a,x_{n+2}] \geq...$
Mà $[a,b]$ là hữu hạn nên theo $(1)$ thì tập giá trị của $x_{n}$ là hữu hạn, nhưng dãy $x_{n}$ là vô hạn nên tồn tại dãy con $x_{n_{i}}$ có tất cả các phần tử bằng nhau.
Theo các nhận xét trên, suy ra:
$(a,x_{n_{i}})\leq (a,x_{n_{i}+2})\leq (a,x_{n_{i}+3}) \leq ....\leq (a,x_{n_{i+1}}=(a,x_{n_{i}}))$
$[a,x_{n_{i}}] \geq [a,x_{n_{i}+1}] \geq ....\geq [a,x_{n_{i+1}}] =[a,x_{n_{i}}]$
Do đó $ax_{n_{i}}=ax_{n_{i}+1}=...=ax_{n_{i+1}}$
Dẫn đến $x_{n_{i}}=x_{n_{i}+1}=...=x_{n_{i+1}}$
Chọn $a_{M}=x_{n_{1}}$, ta có điều phải chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]