Trích:
Nguyên văn bởi daylight c) $ \sum \sqrt{\frac{2}{a+1}} \leq 3 $ |
Đặt $a=\frac{y}{x};b=\frac{z}{y};c=\frac{x}{z} $
Bất đẳng thức dc viết lại:
$\sqrt{\frac{2x}{x+y}}+\sqrt{\frac{2y}{y+z}}+\sqrt{ \frac{2z}{z+x}}\le3
$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$\left ( \sum \sqrt{\frac{2x}{x+y}} \right )^2\le2\sum x(y+z)\sum \frac{1}{(x+y)(y+z)}=\frac{8(xy+yz+zx)(x+y+z)}{(x+ y)(y+z)(z+x)} $
Cần chứng minh:
$8(xy+yz+zx)(x+y+z)\le9(x+y)(y+z)(z+x) $
$\Leftrightarrow x(y-z)^2+y(z-x)^2+z(x-y)^2\ge0 $
Mà bất đẳng thức này đúng nên ta có đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]