Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn

**namdung** · 21-02-2018, 11:42 AM

Đã hết Tết rồi, hôm nay chúng ta quay trở lại với Vietnam TST 2018 Preparation.

Ngày mai chúng tôi sẽ post Ngày 1 của đề 3. Hôm nay chúng tôi gửi tóm tắt lời giải Ngày 1 của đề 2.

Bài hình được phát triển từ 1 bài toán của USA MO (năm 2006). Ý tưởng cơ bản là dùng điểm Miquel và tâm vị tự quay. Hy vọng sẽ có bạn nào đó gửi lời giải chi tiết.

Bài tổ hợp là một bài toán sử dụng đơn biến khá thú vị. Chú ý rằng với 3 đội bất kỳ, chỉ có 2 trường hợp xảy ra: hoặc là có 1 đội thắng cả hai trận hoặc là 3 đội này thắng vòng tròn lẫn nhau. Như vậy để đếm số bộ các đội thắng vòng tròn, ta chỉ cần lấy $C_n^3$ trừ đi số bộ mà có 1 đội thắng 2 đội khác. Gọi $p_i$ là số trận thắng của đội thứ $i$ thì số bộ như vậy bằng $\sum_{i=1}^n C^2_{p_i}$. Vì tổng $\sum_{i=1}^n p_i = n(n-1)/2 $ không đổi nên bài toán quy về việc tìm min, max của $\sum_{i=1}^n p_i^2$.
Đến đây ta sử dụng bất biến và đơn biến. Trong khi $\sum_{i=1}^n p_i $ là bất biến thì $\sum_{i=1}^n p_i^2$ là đơn biến qua phép biến đổi $(a, a) \rightarrow (a-1,a+1)$ (mỗi lần như vậy tổng sẽ tăng lên 2 đơn vị, tương ứng tổng $\sum_{i=1}^n C^2_{p_i}$ tăng 1 đơn vị. Từ đó tìm được min của tổng các bình phương đạt được ở trạng thái cân bằng nhất (nếu $n = 2k+1$ thì đó là trạng thái $(k, k, ...., k)$ còn nếu $n = 2k$ thì đó là trạng thái $(k-1,k-1,...,k-1,k, ..., k)$). Điều thú vị là sử dụng nguyên lý Dirichlet, ta thấy rằng ngoại trừ ở trạng thái $(0, 1, 2, ..., n-1)$ thì ở tất cả các trạng thái khác, ta đều tìm được 2 đội bằng điểm và vì thế còn thực hiện được phép biến đổi nói trên để tăng tổng bình phương lên.

Bài 3 ta sử dụng quy nạp và sai phân. Ta phát biểu mệnh đề tổng quát với $2018$ thay bằng $n$. Sau đó ta sử dụng quy nạp theo $n$ với chú ý rằng hết $P(x)$ có bậc $n$ thì $P(x+1) - P(x)$ có bậc $n-1$.

21-02-2018, 11:42 AM	#19
namdung Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Tp Hồ Chí Minh Bài gởi: 1,343 Thanks: 209 Thanked 4,066 Times in 778 Posts	Đã hết Tết rồi, hôm nay chúng ta quay trở lại với Vietnam TST 2018 Preparation. Ngày mai chúng tôi sẽ post Ngày 1 của đề 3. Hôm nay chúng tôi gửi tóm tắt lời giải Ngày 1 của đề 2. Bài hình được phát triển từ 1 bài toán của USA MO (năm 2006). Ý tưởng cơ bản là dùng điểm Miquel và tâm vị tự quay. Hy vọng sẽ có bạn nào đó gửi lời giải chi tiết. Bài tổ hợp là một bài toán sử dụng đơn biến khá thú vị. Chú ý rằng với 3 đội bất kỳ, chỉ có 2 trường hợp xảy ra: hoặc là có 1 đội thắng cả hai trận hoặc là 3 đội này thắng vòng tròn lẫn nhau. Như vậy để đếm số bộ các đội thắng vòng tròn, ta chỉ cần lấy $C_n^3$ trừ đi số bộ mà có 1 đội thắng 2 đội khác. Gọi $p_i$ là số trận thắng của đội thứ $i$ thì số bộ như vậy bằng $\sum_{i=1}^n C^2_{p_i}$. Vì tổng $\sum_{i=1}^n p_i = n(n-1)/2 $ không đổi nên bài toán quy về việc tìm min, max của $\sum_{i=1}^n p_i^2$. Đến đây ta sử dụng bất biến và đơn biến. Trong khi $\sum_{i=1}^n p_i $ là bất biến thì $\sum_{i=1}^n p_i^2$ là đơn biến qua phép biến đổi $(a, a) \rightarrow (a-1,a+1)$ (mỗi lần như vậy tổng sẽ tăng lên 2 đơn vị, tương ứng tổng $\sum_{i=1}^n C^2_{p_i}$ tăng 1 đơn vị. Từ đó tìm được min của tổng các bình phương đạt được ở trạng thái cân bằng nhất (nếu $n = 2k+1$ thì đó là trạng thái $(k, k, ...., k)$ còn nếu $n = 2k$ thì đó là trạng thái $(k-1,k-1,...,k-1,k, ..., k)$). Điều thú vị là sử dụng nguyên lý Dirichlet, ta thấy rằng ngoại trừ ở trạng thái $(0, 1, 2, ..., n-1)$ thì ở tất cả các trạng thái khác, ta đều tìm được 2 đội bằng điểm và vì thế còn thực hiện được phép biến đổi nói trên để tăng tổng bình phương lên. Bài 3 ta sử dụng quy nạp và sai phân. Ta phát biểu mệnh đề tổng quát với $2018$ thay bằng $n$. Sau đó ta sử dụng quy nạp theo $n$ với chú ý rằng hết $P(x)$ có bậc $n$ thì $P(x+1) - P(x)$ có bậc $n-1$.