Trích:
Nguyên văn bởi zinxinh  Cho dãy $ x_{n} $ lớn hơn -1 thỏa mãn $ (x_{n+1}-x_{n})(1-x_{n}x_{n+1})>=0 $ và lim $\dfrac{x_{n+1}}{x_{n}}=1$.CMR dãy $ x_{n} $ hội tụ |
Dùng một trong hai giả thiết, $(x_{n+1}-x_{n})(1-x_{n}x_{n+1})\ge 0 $ và $\lim\dfrac{x_{n+1}}{x_{n}}=1$, ta chỉ ra đúng 1 trường hợp sau xảy ra
- Tồn tại số tự nhiên $M$ đủ lớn sao cho $u_N\ge 0$ thì $u_{n}\ge 0 \forall n \in \mathbb{N}: n\ge M$;
- $u_n <0$ với mọi $ n \in \mathbb{N}.$
Trường hợp 2: Ta suy ra dãy thỏa $$-1<x_n \le x_{n+1}<0\, \forall n \in \mathbb{N}.$$
Do đó dãy hội tụ.
Trường hợp 1: Lúc này, ta có thể thấy: không mất tính tổng quát ta có thể giả sử $u_{n} >0\, \forall n \in \mathbb{N}$.
Khi đó, với mỗi n,
$$x_{n} \le x_{n+1} \le \frac{1}{x_n},$$
hoặc
$$\frac{1}{x_n} \le x_{n+1} \le x_{n},$$
Nhận xét: Với $a>0$, nếu $a\le x \le \frac{1}{a}$ thì $a\le \frac{1}{x} \le \frac{1}{a}.$
Do đó $$x_{n}\in [b,\frac{1}{b}] \, \forall n \in \mathbb{N},$$
trong đó $b= \min\{x_1, \frac{1}{x_1}\}$,
và
$$ \min\{x_n, \frac{1}{x_n}\}\le x_{n+1}\le \max\{x_n, \frac{1}{x_n}\} \, \forall n \in \mathbb{N}.$$
(... đang xử lý trường hợp 1.....) và chờ tác giả nói về Bài toán săn sư tử trên sa mạc.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]