Ðề tài: Tính tích phân
Xem bài viết đơn
Old 15-01-2018, 12:47 AM   #2
abcpro002
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Feb 2012
Bài gởi: 3
Thanks: 2
Thanked 0 Times in 0 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi 2013hungthanh View Post
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb R$ thoả mãn
\[f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = \sqrt {2 + 2\cos 2x} \quad \forall {\mkern 1mu} x \in\mathbb R\]
Tính $\displaystyle{I = \int\limits_{ - \frac{{3\pi }}{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} {f\left( x \right)dx}} .$
Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$, xét $I(x)=F(x)-F(-x)$ có
\[\begin{array}{l}
dI\left( x \right) &= dF\left( x \right) - dF\left( { - x} \right) = f\left( x \right)dx - f\left( { - x} \right)d\left( { - x} \right)\\
&= \left( {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right)dx\\
&= \sqrt {2 + 2\cos 2x} dx\\
&= 2\left| {\cos x} \right|dx
\end{array}.\]
Kết hợp $I(0)=0$ để có
\[\begin{array}{l}
I &= I\left( {\frac{{3\pi }}{2}} \right) = \int\limits_0^{\frac{{3\pi }}{2}} {dI\left( x \right) = 2} \int\limits_0^{\frac{{3\pi }}{2}} {\left| {\cos x} \right|dx = 2} \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\cos x} \right|dx + 2\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} {\left| {\cos x} \right|dx} } \\
&= 2\left( {\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx - } \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{3\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} } \right) = 6.
\end{array}\]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
abcpro002 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
 
[page compression: 8.27 k/9.29 k (11.02%)]