Trích:
Nguyên văn bởi visaolangle00  Cho các số thức $x,y,z$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix}
x+y+z=2 & & \\
x^2+y^2+z^2=3& & \\
xyz=4& &
\end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng:
$$\dfrac{1}{xy+z-1}+\dfrac{1}{yz+x-1}+\dfrac{1}{zx+y-1}=\dfrac{-1}{(x-1)(y-1)(z-1)}=k$$
Tìm k của bài toán trên? |
Chứng minh đẳng thức mới "khó", việc tìm $k$ khá tầm thường.
Vì $z-1=1-x-y$ nên $xy+z-1=xy+1-x-y=(x-1)(y-1)$. Khi đó, ta nhanh chóng suy ra ĐPCM (chỉ sử dụng phương trình thứ nhất).
Dễ dàng tìm $\dfrac{-1}{(x-1)(y-1)(z-1)}$ bằng cách biểu diễn ${(x-1)(y-1)(z-1)}$ theo $x+y+z, xy+yz+zx, xyz$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]