Bài này chỉ cần chứng minh $(VT_1)^2 + (VT_2)^2 \ge 20$ (*) là xong.
Trước hết, ta cần phải đặt điều kiện xác định đầy đủ cho PT.
Chú ý rằng $\frac{1}{\sin ^2 x} + \frac{1}{\cos ^2 x} \ge 4$ với mọi $x \neq 0$.
Khi đó,
$(VT_1)^2+(VT_2)^2 \ge 10 + 2 \sqrt{(\sin ^2 x+ \sin ^{-2} x) (\cos^2 y+ \cos ^{-2} y)} + 2 \sqrt{(\sin ^2 y+ \sin ^{-2} y) (\cos ^2 x+ \cos^{-2} x)}$
Ta chứng minh được rằng
$\sqrt{(\sin ^2 x+ \sin ^{-2} x) (\cos^2 y+ \cos ^{-2} y)} + \sqrt{(\sin ^2 y+ \sin ^{-2} y) (\cos ^2 x+ \cos^{-2} x)} \ge 5$ với mọi $x \neq 0$
bằng cách dùng bất đẳng thức AM-GM trực tiếp và chú ý rằng $(\sin ^2 x+ \sin ^{-2} x)(\cos ^2 x+ \cos^{-2} x) \ge \frac{25}{4}$.
Chứng minh như sau:
Ta có
$(\sin ^2 x+ \sin ^{-2} x)(\cos ^2 x+ \cos^{-2} x) = \sin ^2 x \cos ^2 x + \tan^2 x + \cot ^2 x +\frac{1}{\sin ^2 x \cos ^2 x}$
$\ge 2 + \frac{\sin ^2 2x}{4} + \frac{1}{4 \sin ^2 2x} + \frac{15}{4 \sin ^2 2x} \ge 2+\frac{2}{4}+\frac{15}{4} = \frac{25}{4}$.
Từ đó suy ra (*) đúng. Tuy nhiên, theo đề bài thì đẳng thức phải xảy ra nên gắn điều kiện vào, ta phải có $\tan x = \tan y= \pm 1$ và $x=y$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]