Trích:
Nguyên văn bởi n.v.thanh  Bài 6 (7 điểm) Xét các số tự nhiên lẻ $a,b $ mà $a $ là ước số của $b^2+2 $ và $b $ là ước số của $a^2+2 $. Chứng minh rằng $a $ và $b $ là các số hạng của dãy số tự nhiên $(v_n) $ xác định bởi $v_1=v_2=1 $ và $v_n=4v_{n-1}-v_{n-2} $ với mọi $n \ge 3 $. |
Bài này có thể giải như sau:
Trước hết ta chứng minh được ngay cặp $(a;b) $ thỏa mãn $a^2-4ab+b^2+2=0 $ (1).
+) Nếu $a=b $ thì từ (1) ta được $a=b=1 $ thỏa mãn.
+) Nếu $a\neq b $ thì $1<a<b $, không mất tính tổng quát ta giả sử $b>a $.
Nhận xét. Nếu $x, y (1<x<y) $ là hai số nguyên dương lẻ thỏa mãn $x^2-4xy+y^2+2=0 $ thì $3x<y<4x $.
Thật vậy, $x^2-4xy+y^2+2=0 \Leftrightarrow y\left( {y - 3x} \right) = x\left( {y - x} \right) - 2 > 0 \Rightarrow y > 3x $ (do $y-x\ge 2, x\ge 3 $).
Mặt khác $x^2-4xy+y^2+2=0 \Leftrightarrow y(4x-y)=x^2+2>0 $ suy ra $y<4x $. Do đó nhận xét được chứng minh.
Gọi $m $ là một số nguyên dương. Xét dãy số:
$\[\left\{ \begin{array}{l}
{u_m} = a\\
{u_{m + 1}} = b\\
{u_n} = 4{u_{n - 1}} - {u_{n - 2}}\left( {n \ge 3} \right)
\end{array} \right.\] $
Ta có $u_{m+2}=4b-a $ và ta có hệ thức quen thuộc:
$u_{n+2}u_n-u^2_{n+1}=u_{m+2}u_m-u^2_{m+1}=(4b-a)a-b^2=-(a^2-4ab+b^2)=2, \forall n\ge 1 $ suy ra hệ thức:
$u^2_{n+1}-4u_{n+1}u_n+u^2_n+2=0, \forall n\ge 1 $ (2)
chú ý $u_n, \forll n\ge 1 $ là số lẻ nên Theo nhận xét trên ta có: $3u_m<u_{m+1}<4u_m $ từ đây gọi $k $ là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho $0<u_k<u_{k+1}<...<u_m $. Ta sẽ chứng minh $u_k=u_{k-1}=1 $. Thật vậy,
nếu $u_k>1 $ thì theo nhận xét ta có $4u_k-u_{k+1}>0 $ suy ra $u_k>u_{k-1}=4u_k-u_{k+1}>0 $ mâu thuẫn với $k $ nguyên dương nhỏ nhất. Vậy $u_k=1 $ và từ đẳng thức $u^2_{k-1}-4u_{k-1}u_k+u^2_k+2=0 $ suy ra $u_{k-1}=1 $ ($u_{k-1}=3 $ không xảy ra vì $u_{k+1}u_{k-1}- u^2_{k}=2 $).
Khi đó đặt $v_n=u_{k+n-2}=1, {v_n} = 4{v_{n - 1}} - {v_{n - 2}}\left( {n \ge 3} \right) $ thì ta thấy ngay:
$a=v_{m-k}, b=v_{m-k+1} $ đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]